$ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin^2 (kx)}{k}$ ve $ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos^2 (kx)}{k}$

Question

Seriyi inceleyelim $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\sin^2 (kx)}{k}$ ve $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\cos^2 (kx)}{k}$

---

Benim girişimim:
$\forall t , ~ \cos^2(t) + \sin^2(t) =1$ ve $\sum\limits_{k \ge 1} \dfrac{1}{k} =\infty$.
İki terim pozitif olduğundan, serilerden en az biri farklı olmalıdır.
Her iki serinin farklı olduğunu nasıl kanıtlayabilirim?

İpucunda verildiği gibi, $\cos^2(kx)= 1 + 2 \cos(2kx)$

Answer 1

İPUCU:

Her iki seri birbirinden ayrılır. Bunu göstermek için kimliklerden yararlanın

$$\begin{align} \sin^2(x)&=\frac{1-\cos(2x)}{2}\\\\ \cos^2(x)&=\frac{1+\cos(2x)}{2} \end{align}$$

gerçeği ile birlikte $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{n}$ için birleşir $x\ne m\pi$, $m\in \mathbb{Z}$Dirichlet'in testiyle garanti edildiği gibi .