Tekrarlanan Karmaşık Özdeğerlerin Karmaşık Eşleniklerinin Çokluğu

Question

Gerçek değerli bir matris için, karmaşık özdeğerlerin karmaşık eşlenik çiftler halinde geldiğini biliyorum. Bununla birlikte, tekrarlanan karmaşık özdeğerler için ne olduğunu merak ediyorum (yani çokluğu 1'den büyük olan karmaşık özdeğerler). Bu durumda, tekrarlanan karmaşık özdeğerin karmaşık eşleniği bu özdeğerle aynı çokluğa mı sahip? Bu ifade geçerliyse, bunun doğru olduğunu nasıl gösterebiliriz?

Answer 1

Gerçekten buluyoruz ki, eğer gerçek bir matris $A$ karmaşık bir özdeğere sahiptir $\lambda$, ardından eşlenik özdeğer $\bar \lambda$aynı cebirsel ve geometrik çokluğa sahiptir. Aslında biraz daha fazlasını söyleyebiliriz:$$ (A - \lambda I)|_{\ker(A - \lambda I)} = (A - \bar \lambda I)|_{\ker(A - \bar \lambda I)}, $$yani özdeğerlerle ilişkili tüm yapılar aynıdır. Yani, Jordan formu$A$ aynı sayıda ve boyutta bloklara sahiptir $\lambda$ ve $\bar \lambda$.

Çoklukları kanıtlamaya gelince, aşağıdakilere sahibiz: cebirsel çokluk, kökün çokluğudur $\lambda$ karakteristik polinomda $p(x) = \det(xI - A)$. Gerçek katsayıları olan herhangi bir polinom için geçerli olduğu gibi, kökün çokluğu$\lambda$ bu kökün çokluğu ile aynı mı $\bar \lambda$.

Geometrik çokluk için bir yaklaşım şu şekildedir: matrislerin $\overline{A B} = \bar A \bar B$. Bunu takip eder eğer$v$ özdeğer ile ilişkili (karmaşık) bir özvektördür $\lambda$o zaman bizde $$ Av = \lambda v \implies \overline{Av} = \overline{\lambda v} \implies A \bar v = \bar \lambda \bar v. $$ Başka bir deyişle, harita $v \mapsto \bar v$ tersinir $\Bbb R$-nin özuzayları arasındaki doğrusal harita $A$ ile ilişkili $\lambda$ ve $\bar \lambda$. Bu boşlukların aynı boyuta sahip olduğu sonucu çıkar.