Tümevarımın yakınsama analizinde uygulanması özyinelemeli bir dizi tanımlanmıştır.
İzin Vermek $\left\{a_{n}\right\}$ özyinelemeli olarak tanımlanmak $$ a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}}, \quad n \geq 1 $$ Hangisi için belirle $a_{1}$ dizi yakınsar ve yakınsama durumunda sınırını bulur.
Benim yaklaşımım: Unutmayın ki$$a_{n +1}=\frac{1}{4-3a_{n}}, \quad n\geq 1$$ bu yüzden öncelikle bulmak istiyorum $a_{n}$. Şimdi bir kalıp bulmaya çalışıyordum ama bunu bulamıyorum \ begin {eqnarray *} n = 1 & \ implies & a_ {2} = \ frac {1} {4-3a_ {1}} = \ frac {(3 ^ {2-1} -1) - (3 ^ {2-1} -3) a_ {1}} {(2 ^ {2}) - (3 ^ {2} -6) a_ {1 }} \\ n = 2 & \, & a_ {3} = \ frac {1} {4-3a_ {2}} = \ frac {1} {4-3 \ left (\ frac {1} {4- 3a_ {1}} \ right)} = \ frac {4-3a_ {1}} {4 (4-3a_ {1}) - 3} \\ \ vdots & \ implies & \ vdots \\ \ end {eqnarray * } Eğer bilirsem$a_{n}=a_{n}(a_{1})$, böylece sonuç için paydayı analiz edebilirim. $a_{n}$ Tanımlanmadı.
Nasıl bulabilirim $a_{n}$?
Ayrıca bu sorunun burada yanıtlandığını da biliyorum . Ama bence, tümevarım kullanarak temel bir çözüm bulabiliriz.$n$.
Yanıtlar
Dizi birleşirse $L$Yinelemenin her iki tarafındaki sınırın alınması şunu gösterir:
$$L=\frac1{4-3L}\,,$$
veya $3L^2-4L+1=0$. İkinci dereceden faktörler güzelce:$(3L-1)(L-1)=0$bu nedenle tek olası sınırlar $L=\frac13$ ve $L=1$.
Açıkçası sıra tanımsız ise $a_1=\frac43$ ve eğer sabit $a_1=\frac13$ veya $a_1=1$.
- Eğer $a_k<1$, sonra $1<4-3a_k$, ve $0<a_{k+1}<1$.
- Eğer $a_k>\frac43$, sonra $a_{k+1}<0$, yani $0<a_{k+2}<1$.
- Eğer $1<a_k<\frac43$, İzin Vermek $r=a_k-1$; sonra$0<3r<1$, yani $$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{1-3r}=\sum_{n\ge 0}(3r)^n>1+3r>a_k\,.$$ Sıranın bir sınırı olamaz $\left(1,\frac43\right]$ya vurur $\frac43$ ve ölür, veya $a_\ell>\frac43$ bazı $\ell>k$, ve daha sonra $a_n\in(0,1)$ hepsi için $n\ge\ell+2$.
Böylece, eğer $a_1$ aslında sonsuz, sabit olmayan bir dizi oluşturur, bu dizi $(0,1)$. Orada ne olur?
- Eğer $\frac13<a_k<1$, İzin Vermek $r=a_k-\frac13$. Sonra$$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{3(1-r)}=\frac13\sum_{n\ge 0}r^n\,,$$ yani $$a_{k+1}-\frac13=\frac13\sum_{n\ge 1}r^n=\frac{r}3\sum_{n\ge 0}r^n=ra_{k+1}<r=a_k-\frac13\,,$$ ve $a_{k+1}<a_k$. Bu durumda dizinin şuna yakınsaması gerekir:$\frac13$.
- Eğer $0<a_k<\frac13$, İzin Vermek $r=\frac13-a_k$. Sonra$$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{3(1+r)}=\frac13\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^n\,,$$ yani $$\begin{align*}\frac13-a_{k+1}&=\frac13-\left(\frac13+\frac13\sum_{n\ge 1}(-1)^nr^n\right)=\frac13\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^{n+1}\\&=\frac{r}3\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^n=ra_{k+1}<r=\frac13-a_k\,,\end{align*}$$ ve $a_{k+1}>a_k$. Yine dizi yakınsıyor$\frac13$.
Şimdi bunu gösterdik $a_1=1$ sabit sırayı verir $a_k=1$ hepsi için $k\ge 1$ve diğer her başlangıç değeri, ya yakınsayan bir dizi verir $\frac13$ ya da sonunda ölen biri çünkü bazıları $a_k=\frac43$. Sadece hangi başlangıç değerleri için bazılarının$a_k=\frac43$.
Çözme $y=\frac1{4-3x}$ için $x$, onu bulduk $x=\frac{4y-1}{3y}=\frac43-\frac1{3y}$. İzin Vermek$b_1=\frac43$, ve için $k\ge 1$ İzin Vermek $b_{k+1}=\frac{4b_k-1}{3b_k}$. Tümevarım yoluyla gösterilmesi kolay$k$ o $a_k=\frac43$ ancak ve ancak $a_1=b_k$, yani $\{b_k:k\ge 1\}$ yakınsak bir sıra vermeyen başlangıç değerleri kümesidir ve yalnızca sayılar için kapalı bir form bulmak için kalır $b_k$.
Eğer yazarsak $b_k$ kesir olarak $\frac{c_k}{d_k}$, sonra
$$b_{k+1}=\frac{\frac{4c_k}{d_k}-1}{\frac{3c_k}{d_k}}=\frac{4c_k-d_k}{3c_k}\,,$$
yani $c_{k+1}=4c_k-d_k$, ve $d_{k+1}=3c_k$, başlangıç koşullarıyla $c_1=4$ ve $d_1=3$. Sonra$c_{k+1}-d_{k+1}=c_k-d_k$yani tümevarım yoluyla $c_k-d_k=c_1-d_1=1$ hepsi için $k\ge 1$. Bunu takip eder$c_{k+1}=d_{k+1}+1=3c_k+1$. Yinelemeyi çözme$c_{k+1}=3c_k+1$ başlangıç değeri ile $c_1=4$ herhangi bir standart yöntemle şunu bulduk
$$c_k=\frac{3^{k+1}-1}2$$
ve dolayısıyla
$$d_k=\frac{3^{k+1}-3}2\,,$$
Böylece
$$b_k=\frac{3^{k+1}-1}{3^{k+1}-3}\,.$$
Güncelleme: Görüşünüz için teşekkürler Brian M. Scott.
Bazılarının bulunduğu durumu ekleyeceğim $a_k=\frac 43$. Brian'a göre sekansı çözmemiz gerekiyor$b_k$ öyle ki $b_1=\frac 43$, $b_{k+1}=\frac{4b_k-1}{3b_k}$. Bu, benzer bir şekilde çözülebilir, ancak daha kolay çünkü$b_1$ verilmiş.
Bunu not et $$ b_{k+1} - 1 = \frac{b_k-1}{3b_k}$$$$ b_{k+1} - \frac 13 = \frac{b_k-\frac{1}{3}}{b_k}\tag 1 $$
Nereden $(1)$ sonlandırıyoruz $b_k>\frac 13, \forall k$ indüksiyon yoluyla.
Sonra $\frac{b_{k+1}-1}{b_{k+1}-\frac 13} = \frac{1}{3} \frac{b_k-1}{b_k-\frac 13} \implies \frac{b_k-1}{b_k-\frac 13} = \frac{1}{3^{k-1}} \left( \frac{b_1 - 1}{b_1 - \frac 13}\right) = \frac{1}{3^k}$
Bu nedenle $b_k = \frac{1 - \frac{1}{3^{k+1}}}{1-\frac{1}{3^l}} = \frac{3^{k+1} -1}{3^{k+1}-3}$ Brian'ın sonuçlarıyla aynıdır.
Orijinal cevap:
Dan beri $1$ ve $\frac 13$ karakteristik denklemin kökleridir $x=\frac{1}{4-3x}$, sahibiz
$$a_{n+1}-1 = \frac{3(a_n-1)}{4-3a_n}$$
$$a_{n+1}-\frac 13 = \frac{a_n-\frac 13}{4-3a_n}$$
Yani hayır ise $a_n = \frac 13$ var
$$\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-\frac 13} = 3 \frac{a_n-1}{a_n-\frac 13} = 3^n \frac{a_1-1}{a_1-\frac 13}$$
Elbette ki davaya dikkat etmelisin $a_1=\frac 13$.
İşlevi tanımlayın $$ f(a)=\frac1{4-3a}\tag1 $$ Bunu not et $$ \begin{align} f(a)-a &=\frac{(3a-1)(a-1)}{4-3a}\tag{2a}\\ &\left\{\begin{array}{} \lt0&\text{if }a\in\left(\frac13,1\right)\cup\left(\frac43,\infty\right)\\ \gt0&\text{if }a\in\left(-\infty,\frac13\right)\cup\left(1,\frac43\right) \end{array}\tag{2b} \right. \end{align} $$ İçin iki diziyi düşünün $n\in\mathbb{Z}$, $$ \begin{align} p_n &=\frac{3^{n-1}+1}{3^n+1}\tag{3a}\\ &=\frac13\left(1+\frac2{3^n+1}\right)\tag{3b} \end{align} $$ ve $$ \begin{align} q_n &=\frac{3^{n-1}-1}{3^n-1}\tag{4a}\\ &=\frac13\left(1-\frac2{3^n-1}\right)\tag{4b} \end{align} $$ nerede $q_0=\pm\infty$.
Bunu not et $$ \begin{align} f(p_n)&=p_{n+1}\tag{5a}\\ f(q_n)&=q_{n+1}\tag{5b} \end{align} $$ nerede, durumunda $q_0$, $$ \begin{align} f(q_{-1})&=f\!\left(\tfrac43\right)=\infty=q_0\tag{6a}\\ f(q_0)&=f(\infty)=0=q_1\tag{6b} \end{align} $$ Aralıkları tanımlayın $$ \begin{align} P_n&=(p_{n+1},p_n)\tag{7a}\\ Q_n&=(q_n,q_{n+1})\tag{7b} \end{align} $$ nerede $Q_{-1}=\left(\frac43,\infty\right)$ ve $Q_0=\left(-\infty,0\right)$:
Yukarıdaki animasyonda, düz kırmızı ve yeşil çizgiler, $P_n$ ve $Q_n$. Oklar noktalı aralıkları gösterir$P_{n+1}$ ve $Q_{n+1}$. Aralıklar kırmızıdır, eğer$f(a)\lt a$ bu aralıkta ve yeşil eğer $f(a)\gt a$; bu aralıklar aşağıda açıklanmıştır$(2)$.
Dan beri $f'(a)\gt0$ dışında $q_{-1}=\frac43$ (hangisi arasında $Q_{-2 }$ ve $Q_{-1}$), önyargılarımız var $$ \begin{align} f&:P_n\to P_{n+1}\tag{8a}\\ f&:Q_n\to Q_{n+1}\tag{8b} \end{align} $$ Dan beri $$ \bigcup_{n\in\mathbb{Z}}P_n\cup\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}Q_n\cup\left\{p_n:n\in\mathbb{Z}\right\}\cup\left\{q_n:n\in\mathbb{Z}^{\ne0}\right\}=\mathbb{R}\tag9 $$ $(5)$ ve $(8)$ hariç tüm noktalar için bunu göster $\left\{q_n:n\le0\right\}\cup\{1\}$, yineleniyor $f$ yakınsayan bir dizi üretecek $\frac13$ (hatta söylenebilir ki $q_{-\infty}=1$).
İpucu: Eğer $a_1<1$görmek kolay $a_n<1$ ve sonra izin ver $b_n=a_n-\frac13$. Eğer$a_1\in(1,\frac43)$görmek kolay $a_n\in(1,\frac43)$ ve sonra izin ver $b_n=a_n-1$. Gerisini sen yapabilirsin.
İndüksiyonsuz .
Hikayeyi kısaltarak bu soruyu cevaplarken kullandığım burada açıklanan adımları izlerseniz$$a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}} \qquad \text{with} \qquad a_1=c$$ $$a_n=\frac 13\frac{c \left(3^n-9\right)-(3^n-3) } {c(3^n-3)-(3^n-1) }$$
Şimdi, @ Brian M. Scott'ın güzel analizinden güzel sonuçlara ulaşmak için çeşitli durumları göz önünde bulundurmanız gerekiyor.