Türevlenebilir hız alanı tarafından indüklenen akış türevlenebilir
İzin Vermek $E$ olmak $\mathbb R$-Banach alanı, $\tau>0$ ve $v:[0,\tau]\times E\to E$ öyle ki$^1$ $$x\mapsto t\mapsto v(t,x)\tag1$$ ait olmak $C^{0,\:1}(E,C^0([0,\tau],E))$. Bu, benzersiz bir$X^x\in C^0([0,\tau],E)$ ile $$X^x(t)=x+\int_0^tv(s,X^x(s))\:{\rm d}s\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\tag2$$ hepsi için $x\in E$. Şimdi varsayalım$$v(t,\;\cdot\;)\in C^1(E,E)\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\tag3$$ ve ${\rm D}_2v$(birlikte) süreklidir. Yine, bu, benzersiz bir$Y^x\in C^0([0,\tau],\mathfrak L(E))$ ile $$Y^x(t)=\operatorname{id}_E+\int_0^tw_x(s,Y^x(s))\:{\rm d}s\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau],$$ nerede$^2$ $$w_x(t,A):={\rm D}_2v(t,X^x(t))A\;\;\;\text{for }(t,A)\in[0,\tau]\times\mathfrak L(E),$$ hepsi için $x\in E$.
Bunu göstermek isterim $$E\to C^0([0,\tau],E)\;,\;\;\;x\mapsto X^x$$ Fréchet türevlenebilir ve türevi $x$ tarafından verilir $Y^x$ hepsi için $x\in E$.
Bu iddiayı yalnızca şunu varsayarak gösterebilirim: $v(t,\;\cdot\;)\in C^2([0,\tau],E)$ ve ${\rm D}_2^2v$ aynı zamanda (birlikte) süreklidir, o zamandan beri Taylor teoremi uygulanabilir.
Genel durum için: Let $x,h\in E$ve \ başlangıç {denklem} \ başla {bölme} Z (t) &: = X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) -Y ^ x (t) h \\ & = \ int_0 ^ tv \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ sağ) -v \ left (s, X ^ x (s) \ sağ) - {\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \: {\ rm d} s \ end {split} \ tag5 \ end {equation} için$t\in[0,\tau]$. Biz yazabilir \ {bölünmüş} başlar \ {denklem} başlar ve v \ sol (s, X ^ {x + H} (s) \ sağ) v \ sol (s, X ^ x (ler) \ sağ) - { \ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; = v \ left ( s, X ^ {x + h} (s) \ sağ) -v \ left (s, X ^ x (s) \ sağ) \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; - {\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ sağ) \ left (X ^ {x + h} (s) -X ^ x (s) \ sağ) \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; + {\ rm D } _2v \ sol (s, X ^ x (ler) \ sağ), Z (ler) \ ucu {bölünmüş} \ tag6 \ ucu {denklem} tüm$s\in[0,\tau]$. İzin Vermek$$c_x:=\sup_{t\in[0,\:\tau]}\left\|{\rm D}_2v\left(X^x(t)\right)\right\|_{\mathfrak L(E)}<\infty\tag7$$ ve $c_1$ Lipschitz sabitini gösterir $v$. Ardından, \ {denklem} \ başla {bölme} \ sup_ {s \ in [0, \: t]} \ left \ | \ left (X ^ {x + h} -X ^ x \ right) '(s ) \ sağ \ | _E & = \ sup_ {s \ içinde [0, \: t]} \ left \ | v \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ sağ) -v \ left (s , X ^ x (s) \ sağ) \ sağ \ | _E \\ & \ le c_1 \ sup_ {s \ içinde [0, \: t]} \ sol \ | \ sol (X ^ {x + h} - X ^ x \ right) (s) \ right \ | _E \ le c_1e ^ {c_1t} \ left \ | h \ right \ | _E \ end {split} \ tag8 \ end {equation} tümü için$t\in[0,\tau]$. Şimdi sorun, uygun bir sınır bulmaktır.$v\left(s,X^{x+h}(s)\right)-v\left(s,X^x(s)\right)-{\rm D}_2v\left(s,X^x(s)\right)Y^x(s)h$. Açıkça, \ {denklem} başla \ {bölmeye başla} & \ sup_ {s \ in [0, \: t]} \ left \ | v \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ sağ) - {\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ sağ) Y ^ x (s) h \ sağ \ | _E \ \ & \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ max (c, c_1) e ^ {c_1t} \ left \ | h \ right \ | _E + c \ sup_ {s \ in [0, \: t]} \ sol \ | Z'nin (ler) \ doğru \ | _E \ ucu {bölünmüş} \ tag9 \ ucu {denklem} tüm$t\in[0,\tau]$.
Genel kılavuz şimdi Gronwall eşitsizliğini çağırmaktır. Ama tahmin$(9)$ Fréchet farklılığını ondan sonuçlandırmak için çok zayıf, çünkü sağ tarafta sahip olmamız gerekecekti $\left\|h\right\|_E^2$ onun yerine $\left\|h\right\|_E$ (Taylor teoremine göre, yukarıda bahsedilen iki kez türevlenebilirliği varsayarsak durum budur).
Bu sorunu çözmek için bir şeyler yapabilir miyiz?
$^1$ Yani, $v$ Lipschitz, ikinci argümana göre birinci argümana göre tekdüze olarak süreklidir, ikinci argümana göre birinci argümana göre tekdüze olarak en fazla doğrusal büyümeye sahiptir ve (birlikte) süreklidir.
$^2$ Her biri için $x\in E$, $w_x$ aynı Lipschitz ve doğrusal büyüme özelliklerine sahiptir $v$.
Yanıtlar
İzin Vermek $$\left\|f\right\|_t^\ast:=\sup_{s\in[0,\:t]}\left\|f(s)\right\|_E\;\;\;\text{for }f:[0,\tau]\to E\text{ and }t\in[0,\tau],$$ $c_1\ge0$ ile $$\left\|v(\;\cdot\;,x)-v(\;\cdot\;,y)\right\|_\tau^\ast\le c_1\left\|x-y\right\|_E\tag{10}$$ ve $$T_t(x):=X^x(t)\;\;\;\text{for }(t,x)\in[0,\tau]\times E.$$
Aşağıdaki doğrulanması kolay sonuçlara ihtiyacımız olacak:
- $T_t$ herkes için önyargılı $t\in[0,\tau]$, $$[0,\tau]\ni t\mapsto T_t^{-1}(x)\tag{11}$$ herkes için süreklidir $x\in E$ ve $$\sup_{t\in[0,\:\tau]}\left\|T_t^{-1}(x)-T_t^{-1}(y)\right\|_E\le e^{c_1}\tau\left\|x-y\right\|_E\tag{12}.$$
- $$[0,\tau]\times E\ni(t,x)\mapsto T_t(x)\tag{13}$$ (birlikte) süreklidir.
- $$\left\|X^x-X^y\right\|_t^\ast\le e^{c_1t}\left\|x-y\right\|_E\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\text{ and }x,y\in E\tag{14}.$$
Şimdi izin ver $x\in E$. Bunu iddia ediyorum$$\frac{\left\|X^{x+h}-X^x-Y^xh\right\|_\tau^\ast}{\left\|h\right\|_E}\xrightarrow{h\to0}0\tag{15}.$$
İzin Vermek $\varepsilon>0$. Dan beri$(13)$ süreklidir, $$K:=\left\{\left(t,X^y(t)\right):(t,y)\in[0,\tau]\times\overline B_\varepsilon(x)\right\}$$kompakttır. İzin Vermek$$\omega(\delta):=\sup_{\substack{(t,\:y_1),\:(t,\:y_2)\:\in\:K\\\left\|y_1-y_2\right\|_E\:<\:\delta}}\left\|{\rm D}_2v(t,y_1)-{\rm D}_2v(t,y_2)\right\|_{\mathfrak L(E)}\;\;\;\text{for }\delta>0.$$ Dikkat $\omega$azalmıyor. Dan beri${\rm D}_2v$ (birlikte) sürekli, tekdüze olarak süreklidir $K$ ve dolayısıyla $$\omega(\delta)\xrightarrow{\delta\to0+}0\tag{16}.$$ Analizin temel teoremine göre, $$v(t,y_2)-v(t,y_1)=\int_0^1{\rm D}_2v\left(t,y_1+r(y_2-y_1)\right)(y_2-y_1)\:{\rm d}r\tag{17}$$ hepsi için $t\in[0,\tau]$ ve $y_1,y_2\in E$ve bu nedenle \ başla {denklem} \ başla {bölme} & \ sol \ | v (t, y_2) -v (t, y_1) - {\ rm D} _2v (t, y_1) (y_2-y_1) \ sağ \ | _E \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ left \ | y_1-y_2 \ sağ \ | _E \ int_0 ^ 1 \ sol \ | {\ rm D} _2v (t, y_1 + r (y_2-y_1)) - {\ rm D} _2v (t, y_1) \ sağ \ | _ {\ mathfrak L (E)} {\ rm d} r \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ sol \ | y_1-y_2 \ sağ \ | _E \ omega \ sol (\ sol \ | \ y_1-y_2 \ right | _E \ sağda) \ end {bölünmüş} \ etiketi {18} \ end {denklem} herkes için$t\in[0,\tau]$ ve $y_1,y_2\in E$ ile $$(t,y_1+r(y_2-y_1))\in K\;\;\;\text{for all }r\in[0,1)\tag{19}.$$ Şimdi izin ver $h\in B_\varepsilon(x)\setminus\{0\}$ve \ başlangıç {denklem} \ başla {bölme} Z (t) &: = X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) -Y ^ x (t) h \\ & = \ int_0 ^ tv \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ sağ) -v \ left (s, X ^ x (s) \ sağ) - {\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \: {\ rm d} s \ end {split} \ tag {20} \ end {equation} için$t\in[0,\tau]$. Bunu gözlemleyin$^1$ $$\left(t,X^x(t)+r\left(X^{x+h}(t)-X^x(t)\right)\right)\in K\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\text{ and }r\in[0,1)\tag{21}$$ve dolayısıyla \ {denklem} başla \ {bölmeye başla} & \ sol \ | v \ left (t, X ^ {x + h} (t) \ sağ) -v \ left (t, X ^ x (t) \ sağ) - {\ rm D} _2v \ left (t, X ^ x (t) \ sağ) \ left (X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) \ sağ) \ sağ \ | _E \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ left \ | X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t ) \ sağ \ | _E \ omega \ sol (\ sol \ | X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) \ sağ \ | _E \ sağ) \\ & \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le e ^ {c_1t} \ left \ | h \ right \ | _E \ omega \ left (e ^ {c_1t} \ left \ | h \ right \ | _E \ right) \ end {split} \ tag {24} \ end {equation} tarafından$(18)$ ve $(14)$ hepsi için $t\in[0,\tau]$. İzin Vermek$$a:=e^{c_1\tau}\omega\left(e^{c_1\tau}\left\|h\right\|_E\right).$$ Tarafından $(6)$ ve $(24)$, \ {denklem} başla \ başla {bölme} & \ sol \ | v \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ sağ) -v \ left (s, X ^ x (s) \ sağ ) - {\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \ right \ | _E \\ & \; \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; e ^ {c_1s} \ left \ | h \ right \ | _E \ omega \ left (e ^ {c_1s} \ left \ | h \ right \ | _E \ sağ) + c_x \ left \ | Z \ right \ | _s ^ \ ast \ le a \ left \ | h \ right \ | _E + c_x + \ left \ | Z \ right \ | _s ^ \ ast \ end {split} \ tag { Hepsi için 25} \ end {equation}$s\in[0,\tau]$ve bu nedenle \ {denklem} başla \ {bölme} \ left \ | Z \ right \ | _t ^ \ ast & \ le \ int_0t ^ t \ left \ | v \ left (s, X ^ {x + h} (s ) \ sağ) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right) - {\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ sağ) Y ^ x (s) h \ sağ \ | _E {\ rm d} s \\ & \ le a \ left \ | h \ right \ | _Et + c_x \ int_0 ^ t \ left \ | Z \ right \ | _s ^ \ ast {\ rm d} s \ end {split} \ tag {26} \ end {equation} tümü için$t\in[0,\tau]$. Gronwall eşitsizliğine göre,$$\left\|Z\right\|_t^\ast\le a\left\|h\right\|_Ete^{c_xt}\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\tag{27}$$ ve dolayısıyla $$\frac{\left\|Z\right\|_\tau^\ast}{\left\|h\right\|_E}\le a\tau e^{c_x\tau}\xrightarrow{h\to0}0\tag{28}.$$
Bu kanıtı bitiriyor ve haritanın $$E\to C^0([0,\tau],E)\;,\;\;\;x\mapsto X^x$$ Fréchet farklılaştırılabilir mi? $x$ eşit türev ile $Y^x$ hepsi için $x\in E$.
$^1$ İzin Vermek $t\in[0,\tau]$, $r\in[0,1)$, $$z:=(1-r)X^x(t)+rX^{x+h}(t)$$ ve $$y:=T_t^{-1}(z).$$ İnşaat tarafından $$X^y(t)=z\tag{22}$$ ve dolayısıyla $$(t,z)\in K\Leftrightarrow y\in\overline B_\varepsilon(x).$$ Tarafından $(12)$ ve $(14)$, $$\left\|x-y\right\|_E=\left\|T_t^{-1}(T_t(x))-T_t^{-1}(z)\right\|_E\le e^{c_1t}\left\|T_t(x)-z\right\|_E\le e^{2c_1t}\left\|h\right\|_E\tag{23}.$$ Dan beri $\left\|h\right\|_E<\varepsilon$ ve $e^{2c_1t}\le 1$, elde ederiz $\left\|x-y\right\|_E<\varepsilon$ ve dolayısıyla $y\in\overline B_\varepsilon(x)$.