Üçgenin çevresini kanıtlayın $MNC$ üçgenin yarım çevresine eşittir $ABC$
İçinde $ABC$ eşkenar üçgen. $K$ orta noktası $AB$. $M$ ve $N$ uzanmak $AC$ ve $BC$sırasıyla. Eğer$\angle MKN=60°$, sonra bu çevrenin $\triangle MNC$ yarım çevreye eşittir $\triangle ABC$.
Yanıtlar
Ayna $N$ göre $CK$, bırak olsun $N'$. Bunu fark ettik$\angle CN'N=\angle MKN=60^{\circ}$. Bu nedenle$MKNN'$ko-döngüseldir. Bu nedenle$\triangle MKN$ile ilgili ayna görüntüsü $CK$ ile aynı çevreyi paylaşıyor $\triangle MKN$. Bu nedenle merkezi$\triangle MKN$çevresi yatıyor $CK$.
Şimdi açıortayları çizin $\angle CMN, \angle CNM$ ve buluşmalarına izin ver $I$. Açıkça$I$ üçüncü açıortayda yatıyor $CK$. Dan beri$\angle MIN=120^{\circ}$, $M,K,N,I$ko-döngüseldir. Ayrıca, önceki paragrafın sonucuyla birleştirdiğimizde,$IK$bu dairenin çapıdır. Bu nedenle$\angle IMK=\angle INK=90^{\circ}$.
Bu nedenle $MK$ dış açıyı ikiye böler $\angle AMN$ ve $NK$ dış açıyı ikiye böler $\angle BNM$.
Şimdi doğru resme bakın. Çemberi teğet çizin$AM,MN,NB$ ve merkezi olsun $O$. Bunu fark edeceğiz$MO$ açıyı ikiye bölecek $AMN$ ve $NO$ açıyı ikiye bölecek $BNM$ yani $O$ ve $K$ esasen aynı noktadır.
Şimdi çevresini görmek çok kolay $\triangle CMN$ aynı $CP+CQ$çevrenin yarısı olan $\triangle ABC$. (Çünkü$AP={1\over 2} AK={1\over 4}AB$ ve öyle $BQ$)
Sanırım sorunu çözdüm çocuklar!
Noktayı ele alalım $P$ yan tarafta $BC$ nerede $\angle NKP=60°$. O zaman noktayı al$T$ PK hattında nerede $PK=KT$. üçgenler$BKP$ ve $ATK$uyumludur. Yani$\angle TAK=60°=\angle KBP$. Dikkat edin$AMKT$bir çemberdir. Yani$\angle TAK=\angle TMK$. Böylece$TMK$ eşkenar üçgendir.
Şimdi emin olabiliriz ki üçgenler $MKN$ ve $NKP$uyumludur. Yani$MN=NK$. Ptolemy teoremine göre, bunu elde ederiz$AM+AT=AK$. Ayrıca, bunu unutma$BP=AT$.
$CM+AM+AK=CM+2AK-AT=CM+BC-BP=CM+CP=CM+CN+NP=CM+CN+MN$.