Ürün şemasında hat paketi

Question

İzin Vermek $k$ alan olmak $X$ tam bir çeşitlilik olmak $k$, $V$ açık bir alt çeşit olmak $X$, $Y$ plan olmak $k$. Varsayalım$L$ bir hat demetidir $V\times Y$. Eğer$L|_{V\times\lbrace y\rbrace}$ bir çizgi demetine uzanır $X\times\lbrace y\rbrace$ her kapalı nokta için $y$ nın-nin $Y$, çizgi demet mi $L$ genişletmek $X\times Y$?

Ya herhangi bir işleç için daha güçlü bir koşul varsayılırsa $\phi\colon\operatorname{Pic}(V\times Y) \to \operatorname{Pic}(V)$ (İşte $\operatorname{Pic}$ Picard işlevlerini gösterir), satır paketi $\phi(L)$ açık $V$ genişler $X$. Yapar$L$ genişler $X\times Y$?

Düzenle: $X$ pürüzsüz, yani pürüzsüz, eksiksiz bir çeşit olduğu varsayılmaktadır.

Answer 1

Yeni katılımcıya hoş geldiniz. Bu doğru değil$X$pürüzsüz. Bir örnek, rolüne izin verir$X$ ve $Y$ önceki örneğimde.

İzin Vermek $X$ düzgün, geometrik olarak bağlantılı, cinsin yansıtmalı bir eğrisi olmalıdır $g>0$. İzin Vermek$f:X\to Y$ tek düğümlü bir düğüm eğrisinin normalleşmesi $p$ Bu bir $k$-rasyonel nokta. Örneğin,$Y$ bir düğüm düzlemi dörtlü olabilir ve $X$ normalleşme olabilir (bir cins $3$eğri). Varsayalım ki ön görüntüsü$\{p\}$ içinde $X$ bölünmüş, yani $\{r',r''\}$ için $k$rasyonel noktalar $r',r''$ nın-nin $X$.

İzin Vermek $V$ açık tamamlayıcı olmak $\{r',r''\}$ içinde $X$. Kısıtlamasının grafik morfizmini belirtin$f$ -e $V$ aşağıdaki gibi, $$\Gamma:V\to V\times Y.$$ Bu grafik morfizminin görüntüsü, ana Cartier bölen $V\times Y$. Gösteren$L$ ters çevrilebilir demet $V\times Y$ bu Cartier böleniyle ilişkili.

Bu Cartier böleninin geri çekilmesi $V\times X$ bir Cartier bölenini kapsıyor $X\times X$. Bu tür her uzantı biçimdedir$$D_{c',c''} = \underline{\Delta} + \text{pr}_1^*\left(c' \underline{r'} + c''\underline{r''}\right).$$

Bu genişletilmiş Cartier bölenlerinin her biri için, üzerindeki kısıtlamalar $X\times \{r'\}$ ve bitti $X\times \{r''\}$rasyonel olarak eşdeğer değildir. Gerçekten, öyleyse, o zaman$\underline{r'}$ ve $\underline{r''}$ rasyonel olarak eşdeğer olacaktır, böylece cins $g$ eşittir $0$. (Pozitif cinsin düzgün eğrileriyle çalışma nedenim buydu.)$X\times X$Düzgündür, Cartier bölenlerinin rasyonel eşdeğerlik sınıfları grubundan Picard grubuna homomorfizm bir izomorfizmdir. Böylece, her ters çevrilebilir demet$X\times X$ geri çekilme süresini uzatan $L$ üzerinde izomorfik olmayan kısıtlamalara sahiptir $X\times\{r'\}$ ve bitti $X\times\{r''\}$. Bu nedenle her bir ters çevrilebilir demet$X\times X$olduğu değil bir ters çevrilebilir sheaf piyasanın gerilemesini izomorftur$X\times Y$.

Düzenleyin . Yukarıdaki örnekte, her Zariski kapağı için$Y'\to Y$aynı sonuç geçerlidir. Ancak, bir étale kapağı var$Y'\to Y$ öyle ki, ters çevrilebilir demet, $X\times Y'$. Bir étale kapaktan sonra bile böyle bir uzantının olmadığı bir örnek için,$X\to Y$bir düğüm eğrisinin normalleşmesi olsun, bir tüberkül eğrisinin normalleşmesi olsun. Sonra aynı yapı, ters çevrilebilir bir demet verir$L$ açık $V\times Y$ öyle ki her étale kapağı için $Y'\to Y$, ters çevrilebilir demetin uzatma $X\times Y'$.