Üst dini türevi 0'dan büyük olan sürekli fonksiyon, fonksiyonun arttığını gösterir.

Question

İzin Vermek $f$ sürekli ol $[a,b]$ ile $\bar D f \geq 0$ (üst Dini türevi $f$) üzerinde $(a,b)$. Olduğunu göstermektedir$f$ artıyor $[a,b]$. İpucu: Bunun için doğru olduğunu gösterin$g$ ile $\bar D g \geq \epsilon > 0$ açık $[a,b]$. Bunu işleve uygulayın$g(x) = f(x) + \epsilon x$.

Bu, Royden-Fitzpatrick Analysis 4. baskısının 6.2 bölümündeki 19. sorudur.

Benim yaklaşımım aşağıdaki gibidir

1. $g$ 2 sürekli fonksiyonun doğrusal kombinasyonu olduğu için süreklidir.
2. $\bar D g = \bar D f + \epsilon \geq \epsilon > 0$ bunun anlamı $g$ kesinlikle artıyor $(a,b)$.
3. $f = g - \epsilon x$ ve $\bar D f = \bar D g - \epsilon \geq 0$ ima eder $f$ artıyor (azalmıyor) $(a,b)$.

Mantıklı geliyor? Herhangi bir yardım için teşekkürler. Soru aynı zamanda sürekli işlev ile$[a, b]$ sınırlı üst ve alt türevlerle $(a, b)$ Lipschitz olduğunu.

Answer 1

Bunu nasıl biliyorsun $2$tutar? Aslında, kanıtın özü bu, sorunuzu yanlış yorumlamıyorsam, biraz çalışmanız gerekiyor. (Bir resim çizmek yardımcı olacaktır!) Önce varsayalım ki$\bar D f >0$ açık $(a,b)$. Eğer varsa$a<c<d<b$ öyle ki $f(c)>f(d)$ o zaman seçebiliriz $f(c)>\mu>f(d)$. İzin Vermek$S=\{t\in (c,d):f(t)>\mu\}$ ve düşün $\xi=\sup S.$ Bunu not et $c<\xi<d$. Artan bir sıra alın$(t_n)\subseteq (c,d)$ öyle ki $t_n\to \xi.$ Sonra, $f(t_n)\to f(\xi)$. Eğer$f(\xi)\neq \mu$ o zaman bir $\mu<\alpha<f(\xi)$. Sürekliliği$f$ şimdi bir aralık olduğunu ima ediyor $I=(\xi,\xi+\delta)$ öyle ki $t\in I\Rightarrow f(t)>\alpha>\mu$. Ancak bu, tanımıyla çelişiyor$\xi.$ Böylece, $f(\xi)= \mu.$

Her biri için bunu gösterdik $t\in (\xi,d),\ \frac{f(t)-f(\xi)}{t-\xi}\le0$ve biz şu sonuca varıyoruz $ D^+ f(\xi)\le 0$bu bir çelişkidir. Dolayısıyla, katı eşitsizlik iddiası doğrudur ve$now$ biz tanımlarız $g_{\epsilon}(t)=f(t)+\epsilon t$. Bunu takip eder$\bar D g_{\epsilon} >0$ açık $(a,b)$ yani $g_{\epsilon}$ orada azalmıyor ve $\epsilon$ keyfi $f$ aynı zamanda azalmaz.