Var olduğunu garanti edebilir miyiz $\epsilon' > 0$ bu eşitsizlik için geçerli mi?
Şu anda çarpım sınırı yasasını kanıtlamaya çalışıyorum:
İzin Vermek $(a_n)^{\infty}_{n=m}, (b_n)^{\infty}_{n=m}$ gerçek sayıların yakınsak dizileri olması ve $X, Y$ gerçek sayılar ol $X = \lim_{n\to \infty}a_n$ ve $Y = \lim_{n\to \infty}b_n$. $$ \lim_{n \to \infty}a_nb_n = \left(\lim_{n\to \infty}a_n\right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty}b_n\right) $$
İkisinden beri $(a_n)^{\infty}_{n=m}$ ve $(b_n)^{\infty}_{n=m}$ sırasıyla X ve Y'ye yakınsak $|a_n - X| \leq \epsilon'$ ve $|b_n - Y| \leq \delta$.
Ayrıca kitabın önceki bölümlerinde kanıtladığımız bazı lemma ile biliyoruz ki $|a - b| \leq \epsilon \land |c - d| \leq \delta \implies |ac - bd| \leq \epsilon \cdot |c| + \delta \cdot |a| + \epsilon \delta$.
Bunu göstermek için kullanabildiğim için bu mükemmel $|a_nb_n - XY| \leq \epsilon$ bazı arbiter için $\epsilon > 0$var olduğunu gösterdiğim sürece $\epsilon' * |Y| \leq \frac{\epsilon}{3}$ ve biraz var $0 < \delta < 1$ öyle ki $\delta \cdot (|X| + \epsilon') \leq \frac{2}{3}\epsilon$
Gerçeklerin Arşimet özelliğini kullanarak ilk kısmı ispatlayabilirdim, ancak ikinci kısımdan pek emin değilim. İkinci bölüm, keyfi olarak küçük bir bölüm seçebildiğimiz için çalışması gerektiğini düşünüyor.$\delta$ama olduğunu kanıtlayamam. Yanlış bir şey mi yapıyorum? Çalışması için bu ispatı biraz değiştirmek mümkün mü?
Yanıtlar
Eğer $a_n \to a, b_n \to b$ o zaman biraz var $M$ öyle ki $|a|,|b_n| \le M$.
Sonra $|a_nb_n -ab| = |a_nb_n -a b_n + a b_n -ab| \le |a_n-a| |b_n| + |a| |b_n-b| \le M (|a-a_n|+ |b-b_n|)$.
Şimdi seçin $N$ yeterince büyük ki $|a-a_n|, |b-b_n| < {\epsilon \over 2 M}$.