Verilen rastgele değişkenler $\{X_n\}$sonlu ikinci an ile. Kanıtlamak $n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$
Verilen rastgele değişkenler $\{X_n\}$sonlu ikinci an ile. Nasıl kanıtlanır$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$?
Chebyshev eşitsizliğini denedim:
$$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\leq n\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2n}=\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2}$$ama işe yaramadı çünkü sadece sonlu ikinci dereceden anımız var . Chebyshev eşitsizliğinden daha hassas eşitsizlikler var mı?
Yanıtlar
$nP(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n) \leq n\frac { \int_{E_n} |X_1|^{2}dP} {\epsilon n}$ nerede $E_n=(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n)$. Gerçeğini kullanın$\int_{E_n} |X_1|^{2}dP \to 0$ olaylardan beri $\int_{E_n} |X_1|^{2}$ boş sete indir ve $E|X_1|^{2} <\infty$.
Cevabınızın takip edeceği aşağıdaki lemmayı kanıtlayacağım.
İzin Vermek $X$ negatif olmayan gerçek değerli bir rastgele değişken olacak ki $\mathbb E(X)<\infty$. Sonra$$n \mathbb P[X>n ]\rightarrow 0 \text{ as }n\uparrow \infty$$ Kanıt: $\mathbb E(X)=\mathbb E(X\mathbb 1_{X\leq n})+\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n })$.
Dan beri $X\mathbb 1_{X<n}\uparrow X$ gibi $n\uparrow \infty$ ve tüm rastgele değişkenler negatif değildir, Monoton Yakınsama Teoremine göre elimizde $$\lim_{n\uparrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X<n})=\mathbb E(X)$$Bu nedenle şunu takip eder: $$\lim_{n\rightarrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n}) =0$$ Dan beri $0\leq n\mathbb 1_{X>n}\leq X\mathbb1 _{X>n}$, anlıyoruz $$0\leq \mathbb E(n\mathbb 1_{X>n})\leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})$$ $$\implies 0\leq n \mathbb P[ X>n ] \leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})\rightarrow 0 \text{ as }n\rightarrow \infty$$Sonlandırmak için Sandviç Teoremini kullanın. Sonunda probleminize bakın$Z:=\frac{|X_1 |}{\epsilon}$