Yakınsaklık aralığında türevlenebilir ve / veya sürekli bir taylor serisi olarak ifade edilen bir fonksiyon mu

Question

F (x) 'in bir komşulukta sonsuz türevlenebilir fonksiyon olduğunu varsayalım. $0$Taylor serisinin yakınsama yarıçapının $0$, $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$, 8'dir.

Bu demek mi $f(x)$ sürekli ve / veya türevlenebilir $(-8,8)?$ ve neden?

Answer 1

Hayır değil. Örneğin, herhangi bir güç serisini alabilirim$\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ yakınsama yarıçapı ile $8$ve sonra tanımlayın

$$\begin{align*}f:&\mathbb R\to\mathbb R\\ &x\mapsto\begin{cases}\sum_{k=0}^\infty a_k x^k&x\in(-1,1)\\0&\textrm{otherwise.}\end{cases}\end{align*}$$

Bu fonksiyonun Taylor açılımı $0$ yalnızca verilen kuvvet serisidir, ancak yalnızca aralıktaki kuvvet serisiyle uyumludur $(-1,1)$, kuvvet serisinin daha büyük yakınsama yarıçapına sahip olmasına rağmen. Ama eğer$f$ Taylor serisine gerçekten katılıyor $(-8,8)$başka bir deyişle, bu analitiktir, o zaman evet, tüm aralıkta türevlenebilir (sonsuz sıklıkta bile) olacaktır. Ancak analitiklik çok güçlü bir durumdur, bu yüzden her zaman varsayamazsınız.

Answer 2

Verilen arasındaki ilişki $f$işlev ve Taylor serisi yanıltıcı olabilir. Bu ünlü örnek$$f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & x \ne 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} $$ sonsuz derecede türevlenebilir olan $f^{(n)}(0)=0, \forall n \in \mathbb{N}$. Taylor serisi$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = 0$ hepsinde birleşir $\mathbb{R}$yani yakınsama yarıçapı $R=\infty$ancak işlevle yalnızca başlangıçta çakışır. Şimdi biraz işlev alabiliriz$g$ eşit $f$ sadece köken bazı mahallelerde, ancak dışarıda herhangi bir tür olabilir, örneğin sürekli değil.

Bu nedenle , verilen için gerekli ve yeterli koşula sahip olmakta fayda var$\boldsymbol{f}$ yakınsaklık aralığında Taylor serisi ile gösterilebilecek fonksiyon$(-R,R)$, nerede $R$yakınsama yarıçapıdır. Biri şudur:

Taylor Maclaurin formunda kalan $R_{n+1}=\left( \frac{x-a}{x-\xi} \right)^p\frac{(x-\xi)^{n+1}}{n!p}f^{(n+1)}(\xi)$ belirli aralıklarla eğilimlidir $0$, nerede $p>0$, $\xi$ arasında $x$ ve $a$.