yarı yönlü grup ve metasiklik grup

Aug 18 2020

İzin Vermek $G$ ve $H$ gruplar ol ve $\theta : H \to Aut G$bir homomorfizm. Tanımlamak$G\times_{\theta}H$ yarı doğrudan çarpımı olarak adlandırılır $G$ ve $H$.

İzin Vermek $C_{p}=\langle a\rangle$ ve $C_{q}=\langle b\rangle$ asal emirlerin (çarpımsal) döngüsel grupları olmak $p$ ve $q$ sırasıyla öyle ki $p > q$ ve $q\mid p — 1$.

a. Harita$\alpha:C_{p}\to C_{p}$ veren $a^{i}\mapsto a^{si}$ bir otomorfizmdir.

b. Harita$\theta:C_{q}\to Aut C_{q }$ veren $\theta(b^{i}) =\alpha^{i}$ ($\alpha$ (a) bölümünde olduğu gibi) bir homomorfizmdir ($\alpha^{i} = I_{C_{p}})$.

c. Eğer yazarsak$a$ için $(a,e)$ ve $b$ için $(e,b)$, sonra grup $C_{p}\times_{\theta} C_{g}$ bir düzen grubudur $pq$, tarafından oluşturuldu $a$ ve $b$ ilişkilere tabi: $|a|=p$, $|b| = q$, $ba = a^{s}b$, nerede $s\not\equiv 1 (\mod p)$, ve $s^{q}\equiv 1 (\mod p)$. Grup$C_{p} \times_{\theta} C_{q}$ metasiklik grup olarak adlandırılır.

Ben, bunu çözmek için çalıştık a beri,$C_{p}=\langle a \rangle=\lbrace a^{p}|\text{$p$ is prime}\rbrace$bu nedenle bazıları için $s\in \mathbb{Z}$, $(s,p)=1$,bu durumda $\alpha^{s}$ aynı zamanda bir jeneratördür $C_{p}$Şimdi bazıları için $m\in \mathbb{Z}$ imples $s^{m}\equiv1(\mod p)$, harita $\alpha:C_{p}\to C_{p}$bir otomorfizmi tanımladı. Hesaplandı$\alpha^{m}(\alpha^{i})=\alpha^{m-1}(\alpha^{si}) \cdots =\alpha^{s^{m}i}=\alpha^{i}=e$.

İçin b , ben teoremi \ textit {Dyck}, ama değilim emin kullanımını çalıştı

Nasıl çözeceğimi bilmek istiyorum veya herhangi bir öneri, takdir ediyorum

Yanıtlar

1 rain1 Aug 18 2020 at 03:07

İzin Vermek $q | p-1$ ve $C_p = \langle a \rangle$ ve $C_q = \langle b \rangle$.

Yarı doğrudan ürün için $C_p \rtimes_\theta C_q$ bir grup homomorfizmi tanımlamamız gerekecek $\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$.

Bir grup düzenimiz olacak $pq$ ve $C_p \lhd C_p \rtimes_\theta C_q$

İlk $\operatorname{Aut}(C_p)$

$\alpha : C_p \to C_p$

$\alpha(a^i) = a^{si}$

bir otomorfizm olacak, yani bir grup izomorfizmi olacak $C_p$ -e $C_p$, bu aynı zamanda bir bijeksiyon olan bir grup homomorfizmidir.

Bunun bir grup homomorfizmi olduğunu gösterebiliriz:

$\alpha(a^i a^j) = a^{s(i+j)}$
$\alpha(a^i)\alpha(a^j) = a^{si}a^{sj}$

ve bunlar eşittir.

Ve eğer ile çarpma ise bir bijeksiyon olacak $s$ tersinir mod $p$.

$\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$

$\theta(b^i) = \alpha^i$

Bunun bir grup homomorfizmi olduğunu göstereceğiz:

$\theta(b^i b^j) = \alpha^{i+j}$ başvurmak $a^k$: $a^{s^{i+j} k}$.
$\theta(b^i) \circ \theta(b^j) = \alpha^{i} \circ \alpha^{i}$ başvurmak $a^k$: $\alpha^{i}(a^{s^j k}) = a^{s^i s^j k}$

ve bunlar eşittir, bu nedenle bu geçerli bir grup homomorfizmidir.

Detay $s$:

Nereden $\alpha$ tersine çevrilebilir olmak için buna ihtiyacımız var $s$ bir birim modudur $p$.

Nereden $\theta$ grup homomorfizmi olmak $C_q$ (yani $\theta(b^q) = \theta(1)$) buna ihtiyacımız var $\alpha^q = 1$. Yani, ihtiyacimiz var$s^q \equiv 1 \pmod p$.

Şimdi hep sahip olacağız $s^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ böylece ilkel bir kök alabiliriz $r$ ve dikkat $(s^{\frac{p-1}{q}})^q \equiv 1 \pmod p$ bu yüzden bir $s$ yükselterek $r$ güce $(p-1)/q$.

Genelde yarı yönlü çarpım aşağıdaki gibi çarpma işlemine sahiptir ($b$ genel bir unsurdur, oluşturucu değil $C_q$ yalnızca sonraki satır için):