Yoneda lemması hakkında kafa karışıklığı
İzin Vermek $C$ kategori olmak ve $F$ bir kafeste $C$. Yoneda lemması, doğal dönüşümlerin$C(-, A)\Rightarrow F$ unsurları ile bire bir yazışmalarda $F(A)$.
Bana göre, bu ifade motive olmuyor. Biliyorum, özel durumu düşünürsek$F=C(-, B)$, sonra (Yoneda lemması tarafından) $C(-, -)$ bir katıştırma (yani, tam ve sadık bir işlev) verir $C$ ön-sarma kategorisine $C$. Gömüldüğünden beri bu oldukça motive olmuş hissediyor$C$ ön-sarma kategorisine $C$ biraz alan gömmek gibi hissettiriyor $k$ cebirsel kapanışına $\bar{k}$. Dahası, ön sargılar kategorisi de soyut kategoriden daha somuttur.$C$.
Ama neden kişi genel ifadeyle ilgileniyor? $F$herhangi bir ön kafalık olabilir. Bu neden doğal bir ifadedir? Yoneda lemmasını yukarıda belirtildiği gibi düşünme fikri nasıl elde edilir?
Yoneda lemması hakkında bir sorum daha var. Dediğim gibi, birinin katıştırılması var$C$ içine $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ (ön yüklerin kategorisi $C$). Kovaryant fonktörleri dikkate alarak$C\to\mathbf{Sets}$ ön-çemberler yerine, Yoneda lemasının bir kovaryant versiyonu da ispatlanabilir; $C(A, -)\Rightarrow F$ (için $F\colon C\to \mathbf{Sets}$ herhangi bir functor) aşağıdaki unsurlarla bire bir yazışmada $F(A)$. Bundan bir yerleştirme alır$C$ içine $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$.
Özetlemek gerekirse, biri gömülebilir $C$ ikisine de $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ ve $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$. Soru: Nasıl$[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ ve $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$ birbirleriyle ilişkili mi?
Durumla ilgili biraz tuhaf bulduğum şey: İlk başta $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ ve $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$eşdeğer olmak. Ama genel bir gerçek şu ki$$[C, D]^\text{op}\cong [C^\text{op}, D^\text{op}],$$ Böylece $$[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}\cong[C^\text{op}, \mathbf{Sets}^\text{op}],$$ hangisi değil $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$.
Yanıtlar
İşte bu sorunun olası bir cevabı.
Functors'ın kategorilerin temsilleri olduğu görüşünü ele alalım.
Birincisi, bu neden mantıklı?
Pekala, kategorilerin monoidlerin (ve sonuç olarak grupların) genellemeleri olduğunu hatırlayın, çünkü tek bir nesne kategorisi bir monoid ile aynı şeydir. Eğer$M$ bir monoid ise, bir kategori tanımlayabiliriz, $C$, tek bir nesneyle, $*$, ev seti $C(*,*)=M$ve birim ve çarpım tarafından verilen birim ve kompozisyon $M$. Tersine, tek bir nesne kategorisi verildiğinde$C$, $C(*,*)$ Çarpma olarak kompozisyonu olan bir monoiddir ve bu yapılar birbirinin tersidir.
Şu andan itibaren eğer $M$ bir monoid veya $G$ bir grup, yazacağım $BM$ veya $BG$ karşılık gelen bir nesne kategorisi için.
Şimdi, functors ne olacak? Peki, functors nedir$[BG,k\newcommand\Vect{\text{-}\mathbf{Vect}}\Vect]$?
Bir vektör uzayı seçmemiz gerekiyor $V$ göndermek $*$ ve biz bir monoid homomorfizm seçmemiz gerekiyor $G\to \newcommand\End{\operatorname{End}}\End V$. Dan beri$G$ bir gruptur, bu bir grup homomorfizmine eşdeğerdir $G\to \operatorname{GL}(V)$. Başka bir deyişle,$BG$ -e $k\Vect$ doğrusal grup gösterimleriyle tamamen aynıdır ve functorların doğal dönüşümlerinin tam olarak şuna karşılık geldiğini kontrol edebilirsiniz. $G$-değişken doğrusal haritalar.
Benzer şekilde, değiştirdiğimizde $k\Vect$ ile $\newcommand\Ab{\mathbf{Ab}}\Ab$veya $\newcommand\Set{\mathbf{Set}}\Set$, anlıyoruz $G$-modüller ve $G$Sırasıyla ayarlar.
Özellikle, bunların hepsi kaldı $G$-actionlar, bir functor'dan beri $F:BG\to \Set$ kompozisyonu korumalı, bu yüzden $F(gh)=F(g)F(h)$ve biz tanımlarız $g\cdot x$ tarafından $F(g)(x)$. Böylece$(gh)\cdot x = g\cdot (h\cdot x))$.
Aykırı bir işlevci $\newcommand\op{\text{op}}BG^\op\to \Set$ bir hak verir $G$-aksiyon, şimdiden beri $F(gh)=F(h)F(g)$öyleyse biz tanımlarsak $x\cdot g = F(g)(x)$o zaman bizde $$x\cdot (gh) =F(gh)(x) = F(h)F(g)x = F(h)(x\cdot g) = (x\cdot g)\cdot h.$$
Bu nedenle kovaryant functorları düşünmeliyiz $[C,\Set]$ bırakıldığı gibi $C$eylemler $\Set$ve aykırı işlevleri düşünmeliyiz $[C^\op,\Set]$ doğru $C$eylemler $\Set$.
Bağlamda Yoneda Lemma
Temsil edilebilir ön yükler artık aşağıdaki anlamda tek bir değişkende serbest nesnelere karşılık gelir.
Yoneda lemması, doğal bir izomorfizme sahip olmamızdır. $$ [C^\op,\Set](C(-,A),F)\simeq F(A)\simeq \Set(*,F(A)). $$
Başka bir deyişle, $C(-,A)$ bir ön kafayı gönderen "unutkan" işlevin sol ek noktasına çok benziyor $F$ de değerlendirmesine $A$, $F(A)$, ancak tekli sette değerlendirildi $*$.
Aslında dönebiliriz $C(-,A)$ not ederek tam bir sol ek noktasına $$\Set(S,F(A)) \simeq \prod_{s\in S} F(A) \simeq \prod_{s\in S}[C^\op,\Set](C(-,A),F) \simeq [C^\op,\Set](\coprod_{s\in S} C(-,A), F),$$ ve $\coprod_{s\in S} C(-,A)\simeq S\times C(-,A)$.
Böylece, Yoneda lemmasını ifade etmenin bir yolu şudur: $S\mapsto S\times C(-,A)$ değerlendirmeye bitişik olarak bırakılır $A$functor (iki ifadenin kısa bir ispat yoluyla eşdeğer olması anlamında). Bu arada, değerlendirmenin bir de ek hakkı var.$A$functor, argüman için buraya bakın .
Bunu daha tanıdık kavramlarla ilişkilendirmek
Bu bakış açısında dikkat edilmesi gereken ilk şey, artık sadece "özgür" yerine "bir nesnede özgür" kavramlarına sahip olduğumuzdur. Yani, düşünme eğilimindeyim$C(-,A)$ tek bir değişkende serbest ön kağıt olarak $A$ (bu standart bir terminoloji değil, tam olarak düşündüğüm gibi).
Şimdi dikkatli olmalıyız, özgür bir nesne sadece bir nesne değil, bir nesne ve bir temeldir . Bu durumda, temelimiz (ön kafayı serbestçe oluşturan öğe) kimlik öğesidir$1_A$.
Bu şekilde düşündüğümüzde, Yoneda lemmasının kanıtı umarım daha sezgisel olmalıdır. Sonuçta, Yoneda lemasının kanıtı şudur:
$C(-,A)$ tarafından üretilir $1_A$, dan beri $f^*1_A=f$, herhangi $f\in C(B,A)$çok doğal dönüşümler $C(-,A)$ -e $F$ benzersiz bir şekilde nereye gönderdiklerine göre belirlenir $1_A$. (Söylemeye benzer$1_A$ aralıklar $C(-,A)$). Üstelik herhangi bir seçim$\alpha\in F(A)$ nereye gönderilecek $1_A$ "doğrusal genişleyerek" doğal bir dönüşümü tanımlayabildiğimiz için geçerlidir. $f=f^*1_A \mapsto f^*\alpha$ (bu söylemeye benzer $1_A$ doğrusal olarak bağımsızdır veya bir temel oluşturur).
Yoneda lemmasının kovaryant versiyonu tamamen aynı fikirdir, ancak şu anda kategorimizin sol temsilleriyle çalışıyoruz.
Daha tanıdık bağlamlarda Yoneda lemma örnekleri
Tek nesne kategorisini düşünün $BG$, sonra Yoneda lemma, doğru düzenli temsilin $G$ ücretsiz hak mı $G$-tek bir değişkeni ayarlayın (temel öğe özdeşliktir, $1_G$). (İçinde ücretsiz olan$n$değişkenler ayrık birleşimidir $n$ doğru düzenli temsilin kopyaları.)
Gömme ifadesi artık $G$ gömülebilir $\operatorname{Sym}(G)$ üzerinden $g\mapsto -\cdot g$.
Bu aynı zamanda zenginleştirilmiş bağlamlarda da işe yarar. Bir yüzük tam olarak değişmeli gruplarda zenginleştirilmiş tek bir nesne kategorisidir ve bu bağlamda Yoneda lemması, doğru eylemin$R$ kendi başına (genellikle gösterilir $R_R$) özgür haktır $R$-modül tek değişkenli, temel birim eleman $1_R$. (İçinde ücretsiz olan$n$Değişkenler artık doğrudan toplamıdır $n$ Kopyaları $R_R$)
Buradaki gömme ifadesi şudur: $R$ altta yatan değişmeli grubunun endomorfizm halkasına gömülebilir $r\mapsto (-\cdot r)$.