Bewertung der Grenze des Quotienten aus zwei unendlichen Summen
Wie kann ich dieses Limit bewerten?
$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac{\sum_{k=1}^n \frac 1k}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2k-1} }}_{=:a_n}$$
Bei WolframAlpha muss das Limit 2 sein, aber wie kann ich das zeigen? Ich sehe, dass es eintönig zunimmt, wenn ich es zeigen könnte$\sup_{n \in \mathbb N} a_n = 2$würde es getan werden. Aber ich stecke ein bisschen fest ...
Antworten
Beachten Sie, dass der Nenner als umgeschrieben werden kann $$\sum_{k=1}^{2n+1} \frac 1k - \frac 12 \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$$ Danach wird es ziemlich einfach: Zähler und Nenner durch teilen $\sum_{k=1}^n \frac 1k$. Dies gibt Ihnen die Grenze$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac 12 + \frac{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k}{\sum_{k=1}^n \frac 1k}}= 2$$
Die Regel von L'Hopital hat unter bestimmten Bedingungen eine diskrete Version; es ist gewöhnlich als das Stolz-Cesaro-Theorem bekannt . Hier behandeln wir Summation als Integration (und umgekehrt Unterschiede als Differenzierung). Die Aussage ist normalerweise ungefähr so: wenn die Reihenfolge$\{ b_n \}$ ist positiv und $\sum b_n = \infty$ (dh divergent), dann für jede Sequenz $\{ a_n \}$ von Reals so, dass $\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = L$, wir haben
$$ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sum_{j \le n} a_j}{\sum_{j\le n} b_j} = L. $$
Eine ziemlich coole Folge davon ist der Grenzwertvergleichstest.
Nehmen Sie für das gegebene Beispiel $a_n = 1/n$ und $b_n = 1/(2(n+1) - 1) = 1/(2n + 1)$ zu bekommen $2$ als Grenze.
Intuitive Erklärung:
Das Verhältnis ist
$$2\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1{k-\frac12}}$$ und zum Wachsen $k$, der Begriff $\frac12$wird immer weniger bedeutsam. Gleichzeitig gehen beide Serien auseinander, so dass die Anfangsbedingungen keine Rolle spielen.
Durch ein ernsthafteres Argument könnten Sie die Summen durch Integration einklammern und Grenzen des Formulars erhalten $\log n+c$. Dann durch Drücken
$$\frac{\log n+c_1}{\frac12\log n+c_2}<2<\frac{\log n+c_3}{\frac12\log n+c_4}.$$
Vergleich von Begriff zu Begriff haben wir $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\le\sum_{k=1}^n\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-\frac1{n+\frac12} \end{align} $$ Ähnlich, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-2 \end{align} $$ So, $$ 2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-\frac1{n+\frac12} $$ und deshalb, $$ 2-\frac2{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le2-\frac1{\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}} $$ Wenden Sie nun den Squeeze-Satz an.