Comment factoriser ce polynôme?

Question

J'essayais de factoriser ce polynôme:

$x^3 + x^2 - 16x + 20$

Il y a quatre options dans cette question:

1. ( A ) Il pourrait être pris sous la forme suivante:$(x^2 + b)(x+c)$;
2. ( b ) Il pourrait être pris en compte sous la forme suivante:$(x+b)(x+c)(x+d)$, en admettant que $b \neq c \neq d$
3. ( c ) Il n'a pas pu être pris en compte.
4. ( d ) Il pourrait être pris en compte sous la forme suivante:$(x+b)^2 (x+c) $

Voici comment j'ai essayé de le faire: j'ai essayé de factoriser en regroupant les x, donc j'ai obtenu: $x(x^2 + x - 16) + 20$. Maintenant, j'ai mis le$x$ et le $20$ ensemble: $(x+20)(x^2 + x - 16)$. Ensuite, j'ai essayé de factoriser le deuxième terme:$(x+20)(x-16)(x+1)$. Donc, la réponse serait "b", selon cet algorithme.

J'ai terminé le test (c'est une simulation pour le test d'admission que je vais faire), je soumets les réponses et j'ai remarqué que cette question n'est pas correcte.

Answer 1

Comme @Fernis l'a souligné dans les commentaires,

Vous ne pouvez pas tenir compte du $(x+20)$comme vous l'avez fait. Il n'y a pas de facteur commun de$(x+20)$ entre $x^2+x−16$ et $20$.

En utilisant le https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem, vous pouvez savoir que les racines rationnelles possibles sont $\pm 1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$.

Grâce à l'inspection et à la division polynomiale / synthétique, vous pouvez obtenir $(x-2)^2(x-5)$, comme l'a dit @saulspatz. Par conséquent, (d) est votre réponse.

Answer 2

Le plus simple à essayer est (d), car il dit que le polynôme a une racine double. Nous chercherons une racine de la dérivée et vérifierons si elle annule le polynôme.

$$3x^2+2x-16=0\iff x=2\text{ or }x=-\dfrac83.$$

Maintenant $p(2)=0$, bingo!

Answer 3

Celui-ci est facile à prendre en compte. Voyons comment.

Commencez par vous connecter $x=0,1,-1,2$ etc.

Vous constaterez par inspection que $x=2$est un zéro du polynôme. Par conséquent,$(x-2)$ est son facteur.

Maintenant factorisez le polynôme de telle manière que $(x-2)$ devient commun.

$$x^3+x^2-16x+20$$ $$=x^3-2x^2+3x^2-6x-10x+20$$ $$=x^2(x-2)+3x(x-2)-10(x-2)$$ $$=(x-2)(x^2+3x-10)$$ $$=(x-2)(x^2+5x-2x-10)$$ $$=(x-2)[x(x+5)-2(x+5)]$$ $$=(x-2)^2(x+5)$$