यह श्रृंखला अभिन्न के निर्माण, इसके डेरिवेटिव और प्रासंगिक अनुप्रयोगों के संबंध के लिए समर्पित है। हाई स्कूल कलन में, हम अंतराल [a, b] पर एक स्वेच्छ फलन f(x) की तस्वीर से परिचित हैं । वक्र y = f(x) के अंतर्गत क्षेत्रफल की गणना करना सीखते समय यह उन चित्रों में से एक है जिसे हम देखते हैं ।

ऊपर दी गई ज्यामितीय तस्वीर से आप परिचित होंगे।

जैसा कि आपको स्कूल में पढ़ाया जाता है, सबसे आसान काम यह है कि अंतराल [ए, बी] को बराबर टुकड़ों में काट दिया जाए और वक्र के नीचे प्रत्येक टुकड़े पर एक आयत रख दिया जाए, जो वक्र को छूता है।

हम आयतों के कुल क्षेत्रफल की गणना करते हैं और जैसे-जैसे टुकड़ों की संख्या बढ़ती है, कुल को उस क्षेत्र तक पहुंचना चाहिए जो हम चाहते हैं। वह अनिवार्य रूप से न्यूटन निर्माण है।

हालाँकि, इस दृष्टिकोण के साथ कुछ समस्याएँ हैं। सबसे पहले यह देखना बहुत आसान नहीं है कि जैसे-जैसे अंतरालों की संख्या बढ़ती है आयतों के कुल क्षेत्रफल एक सीमा तक पहुँचते हैं। दूसरे, इस परिभाषा के साथ आप f और g के कार्यों का एक तुल्य पा सकते हैं जैसे कि

इससे बचने के लिए, हमें कुछ ऐसा उपयोग करना चाहिए जो इस समस्या से बचा जाए, जिससे हमें अधिक लचीलापन मिले।

भवन निर्माण

आइए अंतराल [ए, बी] के विभाजन पी पर विचार करें, जो संख्याओं का एक परिमित अनुक्रम है।

प्रथम और अंतिम a, b अंत बिंदु हैं।

जैसा कि हम ऊपर देख सकते हैं, बिंदु अंतराल को n टुकड़ों में विभाजित करते हैं। उदाहरण के लिए यदि एन = 4 ।

अब मान लीजिए कि f : [a, b] → R एक परिबद्ध फलन है। प्रत्येक i के लिए , हम mi और Mi को निम्नलिखित होने देते हैं।

mi 'इन्फिनिमम' को दर्शाता है , जो कि iवें टुकड़ेपर f द्वारा लिया जाने वाला न्यूनतम मान है

Mi ' सर्वोच्च ' को दर्शाता है, जो कि f द्वारा ith टुकड़ेपर लिया जाने वालाउच्चतम मान है

इसे सचित्र रूप से समझने के लिए, आइए निम्नलिखित आरेख को देखें।

नारंगी भाग अधम है, नीला भाग सर्वोच्च है। यह हमें अंतराल के आधार पर वक्र के नीचे एक आयत की ऊँचाई और वक्र के ऊपर एक की ऊँचाई बताता है।

वक्र के नीचे के आयतों का कुल क्षेत्रफल a और b के सभी नारंगी आयत हैं ।

वक्र के ऊपर के आयतों का कुल क्षेत्रफल a और b के सभी नारंगी और नीले आयत हैं ।

और यह रुकने के लिए एक अच्छी जगह है। अगले लेख में, हम ऊपरी और निचले योगों की परिभाषा के साथ-साथ संबंधित समस्याओं को देखेंगे।

पढ़ने के लिए आपका शुक्रिया। यदि आपको यह जानकारीपूर्ण लगे तो लेख को ताली बजाना न भूलें।

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