Kurva eliptik dan teori skema
Ingatlah bahwa kurva elips di atas sebuah bidang $k$ yaitu kurva terhubung mulus yang tepat dari genus $1$ dilengkapi dengan yg $k$-poin rasional, saya akan sangat berterima kasih atas bantuan apa pun dalam memahami bagian berikut dari kursus kami
(1) Mengapa $E$, penutupan lokus yang menghilang dari persamaan (4), tentukan kurva aljabar yang tidak dapat direduksi?
(2) Mengapa $E$ mengurangi $k$ jika dan hanya jika $E-\{0\}$ lancar $k$?
(3) Diketahui persamaan affine dan smooth Weirstrass, mengapa penutupan shematiknya masuk $\mathbb{P}_k^2$mendefinisikan kurva elips? Dinyatakan bahwa ini adalah konsekuensi dari teorema Bezout tetapi saya gagal memahami caranya
(4) Biarkan $(E,0)$ menjadi kurva elips, menggunakan Riemann-Roch kita membuat isomorfisme menjadi $\mathrm{Proj}\,k[X,Y,Z]/Y^2Z+a_1XYZ+a_3YZ^2-X^3-a_2X^2Z-a_4XZ^2-a_6Z^3$, Kenapa $0$ memetakan ke titik tak terhingga $O=[0:1:0]$?
Jawaban
Beberapa hal sebelum saya menjawab.
a) Anda harus berusaha lebih keras untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini. Tempatkan mereka sebagai empat pertanyaan terpisah dan tunjukkan pemikiran Anda untuk semuanya.
b) Dari catatan kursus apa ini? Saya hanya penasaran.
(1) Seperti yang dicatat oleh penulis catatan, $E$ tidak dapat direduksi sejak
$$f(x,y):=y^2+a_1xy+a_3y-(x^3+a_2x^2+a_4x+a_6)$$
tidak bisa direduksi. Untuk kesederhanaan mari kita asumsikan karakteristiknya$k$ berbeda dari $2$. Untuk melihat ini perhatikan jika kita menulis
$$f(x,y)=g(x,y)h(x,y)$$
bahwa $g$ dan $h$ harus monic (hingga skalar di $k$) sebagai polinomial di $y$ sejak $f$adalah. Ini kemudian menyiratkan bahwa masing-masing$g(x,y)$ dan $h(x,y)$ jika tidak konstan, setidaknya miliki derajat $1$ di $y$. Ini kemudian menyiratkan itu$g(x,y)$ dan $h(x,y)$ adalah gelar $1$ di $y$. Tapi ini tidak masuk akal karena itu menyiratkannya
$$\frac{-(a_1x+a_3)\pm \sqrt{(a_1x+a_3)^2+4(-a_3+x^3+a_2x^2+a_4x+a_6)}}{2}$$
adalah polinomial dalam $x$, yang jelas tidak mungkin mengingat argumen dari akar kuadrat adalah polinomial derajat ganjil monik.
Sekarang, sejak $f$ tidak dapat direduksi kita tahu itu $V(f)\subseteq \mathbb{A}^2_k$tidak bisa direduksi. Sejak$E$ adalah penutupan dari $V(f)$ di $\mathbb{P}^2_k$, dan penutupan mempertahankan irredusibilitas, kami menyimpulkan itu $E$ tidak bisa direduksi.
(2) Biarkan $F$ menunjukkan homogenisasi $f$. Begitu,
$$F(x,y,z)=y^2z+a_1 xyz+a_3yz^2-(x^3+a_2x^2z+a_4xz^2+a_6z^3)$$
sehingga kemudian $E=V(F)\subseteq\mathbb{P}^2_k$. Kami kemudian tahu dari kriteria Jacobian itu$E$ halus iff
$$F_x=F_y=F_z=F=0$$
tidak memiliki solusi umum di $\overline{k}$. Catat itu$0$ dari $E$ adalah intinya $[0:1:0]$ dan menyambungkannya ke $F_z$ menghasilkan $1$. Begitu,$0=[0:1:0]$tidak pernah bisa menjadi titik tunggal. Jadi, cukup untuk memeriksa kelancaran$E-\{0\}$ yang merupakan kurva affine $V(f)\subseteq\mathbb{A}^2_k$.
(3) Saya pikir penulis catatan berarti 'rumus Bezout' yang mengatakan jika $C$ adalah kurva mulus yang tidak terpisahkan secara geometris dalam $\mathbb{P}^2_k$ derajat $d$ kemudian
$$g(C)=\frac{(d-1)(d-2)}{2}$$
Rumus ini, seperti yang disarankan dalam kalimat yang dikutip, berasal dari klasifikasi bundel baris pada $\mathbb{P}^2_k$dan perhitungan cohomology. Secara khusus, jika$d=3$ kami mengerti $g(C)=1$. Jadi, dalam kasus kami$E$ memiliki gelar $3$ yang seperti itu $E$ memiliki genus $1$, jadi $(E,0)$ adalah kurva elips.
EDIT: Oh, pencatat yang mengklaim rumus Bezout seperti yang saya katakan di atas mengikuti dari teorema Bezout. Saya mengerti. Metode yang saya sarankan di atas menghitung genus aritmatika$C$(yang sama dengan genus geometris dengan dualitas Serre). Yaitu, rumus adjunction mengatakan itu
$$\omega_C=i^\ast(i_\ast\mathcal{O}_C\otimes \omega_{\mathbb{P}^2_k})$$
dimana $i$ adalah penyertaan $C$ ke $\mathbb{P}^2_k$. Jadi, orang melihat bahwa menggunakan derajat bundel kanonik adalah$2g-2$ dan itu $\omega_{\mathbb{P}^2_k}=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2_k}(-3)$ bahwa
$$2g-2=\deg(\omega_C)=\deg(i^\ast(i^\ast(i_\ast\mathcal{O}_C\otimes \omega_{\mathbb{P}^2_k})))=\deg(C .(C-3))$$
Tapi jika $C$ dipotong menjadi gelar $d$ kurva kemudian $\deg(C)=d$ dan menerapkan teorema Bezout di atas kita dapatkan
$$2g-2=d(d-3)$$
memecahkan $g$ memberi
$$g=\frac{d(d-3)}{2}+1$$
(4) Bagian Anda adalah $(x,y,1)$. Peta$E\to\mathbb{P}^2_k$ kemudian dapat secara tidak tepat ditulis sebagai
$$E \ni e\mapsto [x(e):y(e):1(e)]$$
dimana meskipun $x,y,1$ hanyalah bagian dari bundel garis, itu masuk akal karena perkalian skalar tidak mempengaruhi poin $\mathbb{P}^2_k$ dan dengan demikian tidak masalah bagan apa Anda menghitung ini.
Bagaimanapun, $x(e)$ dan $y(e)$ memiliki tiang ketertiban $2$ dan $3$ masing-masing di $0$ dan $1$ tidak memiliki kutub di $0$. Jadi untuk mengevaluasi$[x(0):y(0):1(0)]$Anda perlu mengalikan dengan penyeragam kubus. Sebut saja penyeragam ini$\pi$. Jadi, sungguh apa$[x(0):y(0):1(0]$ artinya adalah sesuatu seperti $[\pi^3 x(0),\pi^3 y(0):\pi^3 1(0)]$ dimana sekarang sejak $\pi^3x, \pi^3y$ dan $\pi^3 1$ tidak lagi memiliki tiang di $0$masuk akal untuk mengevaluasinya di sana. Tapi, perhatikan itu$\pi^3x$ dan $\pi^3 1$ sekarang memiliki tiang ketertiban $-1$ dan $-3$ di $0$atau, dengan kata lain, nol pada$0$. Begitu,$\pi^3x(0)=\pi^31(0)=0$. Sejak$y$ memiliki tiang ketertiban $3$ kami melihat itu $\pi^3y$ tidak menghilang pada $0$. Begitu$[x(0):y(0):1(0)]$ menjadi sesuatu seperti $[0:c:0]$ dimana $c$bukan nol. Ini hanya$[0:1:0]$.