$\cap_{n=1}^{\infty}A_n$ e infinito
Una domanda:
- Se la definizione di $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\{x\in A_i\forall n\in N\}$ ed è non vuoto, significa allora che i suoi elementi appartengono all'infinita intersezione di $A_n$ o qualsiasi intersezione finita di $A_n$ per tutti i numeri naturali?
Per approfondire ulteriormente, vorrei mostrare come mi sento nei confronti di questa notazione confusa $\cap_{n=1}^{\infty}A_n$.
Capire l'analisi Steven Abbott
Esempio 1.2.2 in cui si definisce $A_i = \{x\in N: x\geq i\}$. Per induzione, non è vuoto per ogni intersezione finita. Ma una prova per contraddizione può mostrare che quando si va al caso infinito , che utilizza la notazione$\cap_{n=1}^{\infty}A_i$, è un insieme nullo. In altre parole, in questo esempio, questa notazione viene utilizzata per intersezioni infinite.
Teorema 1.4.1 in cui dimostra la proprietà dell'intervallo annidato. $I_n = \{x\in R: a_n\leq x\leq b_n\}$. Qui, non specifica se si tratta di intersezione infinita o meno. Invece, ha detto,$\exists x\forall n\in N x\in I_n$. Quindi, quello$x\in\cap_{n=1}^{\infty}A_n$. In altre parole, in questo esempio, questa notazione viene utilizzata per ogni numero naturale finito
Il teorema 1.5.8 dice If$A_n$ è un insieme numerabile per ciascuno $n\in N$, poi $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$è numerabile. In altre parole, in questo esempio, questa notazione viene utilizzata per intersezioni infinite.
Sono confuso da questa notazione nel senso che la notazione include il segno di infinito ma la sua definizione significa ogni numero naturale. Quindi, ogni volta che lo vedo, non so quale applicare.
Di 'se vado per la direzione in cui è applicabile $\forall n\in N$, allora l'induzione dovrebbe funzionare perché l'induzione sta facendo esattamente la stessa cosa! Tuttavia, questo post suggerisce il contrario dicendo che la notazione riguarda l'infinito .
Bene, cambio direzione in cui si tratta di intersezione infinita. Ma poi in alcuni casi, ad esempio quello che ho elencato sopra, in qualche modo se qualcosa è applicabile a tutti i numeri naturali, va bene far parte di questa notazione.
Quindi, in breve, sento che questa notazione ha 2 significati contrastanti
- $\forall n\in N$
- Infinito
Ho fatto ricerche e fatto domande prima, ma ancora non capisco. Quindi credo di aver sbagliato e confuso in alcune definizioni.
Risposte
$\bigcap_{n=1}^\infty A_n$è un set. Che set? L'insieme di tutte le cose che appartengono a ciascuno degli insiemi$A_n$ per $n\in\Bbb Z^+$. Permettere$\mathscr{A}=\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$; poi$\bigcap\mathscr{A}$ significa esattamente la stessa cosa. $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ è semplicemente una notazione abituale che significa né più né meno di $\bigcap_{n\ge 1}A_n$, $\bigcap\mathscr{A}$, e $\bigcap\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$. Non c'è$A_\infty$: il $\infty$ è solo un segnale che l'indice $n$ è assumere tutti i valori interi positivi.
Supponiamo che per ogni numero reale positivo $x$ io lascio $I_x$ essere l'intervallo aperto $(-x,x)$. Poi$\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x$è l'insieme di tutti i numeri reali che appartengono a ciascuno di questi intervalli aperti. Se$\mathscr{I}=\{I_x:x\in\Bbb R^+\}$, poi
$$\bigcap\mathscr{I}=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}(-x,x)=\{0\}\,.$$
Come lo so? Se$y\in\Bbb R\setminus\{0\}$, poi $y\notin(-|y|,|y|)=I_{|y|}$, quindi è presente almeno un membro di $\mathscr{I}$ che non contiene $y$, e quindi per definizione $y$ non è nell'incrocio dei set della famiglia $\mathscr{I}$. D'altronde,$0\in(-x,x)=I_x$ per ogni $x\in\Bbb R^+$, così $0$ è all'incrocio$\bigcap\mathscr{I}$.
In nessun caso abbiamo usato l'induzione da nessuna parte. Nel caso dei set$A_n$ potremmo essere in grado di utilizzare l'induzione su $n$ per mostrare che ciascuno dei set $A_n$ ha qualche proprietà $P$, ma non abbiamo potuto estendere l'induzione per dimostrarlo $\bigcap\mathscr{A}$ ha $P$. Potremmo in qualche modo essere in grado di utilizzare il fatto che ciascuno$A_n$ ha proprietà $P$ per dimostrarlo $\bigcap\mathscr{A}$ ha anche $P$, ma ciò richiederebbe un argomento separato; non farebbe parte dell'induzione. L'argomento dell'induzione in quel caso lo proverebbe
$$\forall n\in\Bbb Z^+(A_n\text{ has property }P)\,;$$
l'argomento separato mostrerebbe quindi, usando quel risultato e altri fatti, che il singolo insieme $\bigcap\mathscr{A}$ ha proprietà $P$. Potresti chiamare questo set$A_\infty$se volessi farlo, ma sarebbe solo un'etichetta; potresti chiamarlo altrettanto bene$A$, o $X$, o anche $A_{-1}$, anche se improvvisamente non riesco a immaginare perché vorresti usare quell'ultima etichetta.
Nel caso dei set $I_x$ non è possibile utilizzare l'induzione per dimostrare che ciascuno $I_x$ ha qualche proprietà: questi insiemi non possono essere elencati come $I_1,I_2,I_3$e così via, perché ce ne sono innumerevoli. Possiamo ancora provare cose sul set$\bigcap\mathscr{I}$, tuttavia. E potremmo dargli un'etichetta conveniente.$\bigcap\mathscr{I}$è informativo ma forse un po 'scomodo; Potrei scegliere di dargli l'etichetta più comoda$I$.
In caso di $\mathscr{A}$ sembra esserci una notazione consueta che utilizza il simbolo $\infty$, ma questa è semplicemente una conseguenza del fatto che i set $A_n$sono indicizzati da numeri interi. Stiamo facendo esattamente lo stesso genere di cose nell'esempio con$\mathscr{I}$, ma in tal caso non è possibile utilizzare un limite di $\infty$ sull'incrocio, perché non c'è modo di indicizzare il numero innumerevole di serie $I_x$ da numeri interi.