Caratterizzazione di insiemi connessi localmente connessi

Aug 15 2020

$T_1$ spazio $X$ è sia connesso che localmente connesso iff per ogni coperchio aperto $\{U_\alpha\}$ di $X$ e coppia di punte $x_1,x_2$ di $X$, esiste una sequenza finita $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ e una sequenza di sottoinsiemi aperti connessi $V_1,\cdots,V_n$ tale che

  1. $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
  2. $V_i\cap V_j\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$
  3. $V_i\subseteq U_{\alpha_i}$ per tutti $i=1,\cdots,n$

Ora, per la connessione $X$, l'abbiamo per $x_1,x_2$ di $X$ e aprire il coperchio $\{U_\alpha\}$, possiamo ottenere una sequenza $U_{\alpha_1},\cdots,U_{\alpha_n}$ dalla copertina in modo tale

  1. $x_1\in U_{\alpha_1}$, $x_2\in U_{\alpha_n}$
  2. $U_{\alpha_i}\cap U_{\alpha_j}\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$

Inoltre, come $X$ è connesso localmente, ogni componente di un insieme aperto è aperto.

Ora, credo che il file $V_i$ necessari sono i componenti di $U_{\alpha_i}$, scelto in modo appropriato in modo che le condizioni $1$ e $2$tenere. Questo si occuperebbe automaticamente se la condizione$3$. Tuttavia, non sono stato in grado di mostrarlo. Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato!

Risposte

1 PaulFrost Aug 16 2020 at 14:38

Permettere $X$soddisfare la "condizione di copertura aperta". Poi$X$ è collegato perché due qualsiasi $x_1, x_2 \in X$ sono contenuti in un sottoinsieme connesso di $X$ (prendi l'unione del $V_i$). Per dimostrarlo$X$ è connesso localmente, lascia $x_1 \in X$ e $U_1$ essere un quartiere aperto di $x_1$. Dobbiamo trovare un quartiere aperto e connesso$V_1$ di $x_1$ tale che $V_1 \subset U_1$. Il set$U = X \setminus \{x_1\}$ è aperto da allora $X$ è $T_1$(questo è l' unico posto in cui abbiamo bisogno del file$T_1$-Requisiti). Perciò$\mathcal U = \{U_1, U\}$ è una copertina aperta di $X$. Scegli uno qualsiasi$x_2 \in X$ (se vuoi $x_2 = x_1$). Esiste una sequenza di connessioni aperte$V_i$come nelle tue condizioni. abbiamo$x_1 \in V_1$. Inoltre,$V_1$ è contenuto in alcuni membri di $\mathcal U$. Da$x_1 \in V_1$, è impossibile $V_1 \subset U$. Così$V_1 \subset U_1$.

Successivamente dimostreremo il contrario. Cominciamo con quanto segue

Lemma: Let $M_1,\ldots, M_r$ essere sottoinsiemi di $X$ tale che $M_i \cap M_{i+1} \ne \emptyset$ per $i =1,\ldots,r-1$. Allora esiste un sottoinsieme$\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ tale che $1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ e $M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ iff $\lvert i - j \rvert \le 1$.

Prova: chiama $\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ bello se$1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ e $M_{k_i} \cap M_{k_{i+1}} \ne \emptyset$ per $i = 1,\ldots,n-1$. Chiaramente$\{1,\ldots,r\}$è bello. Esiste un bel$\{k_1,\ldots,k_n\}$con il minimo$n$ (possibilmente $n = r$). Assumere$M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ per qualche coppia $(i,j)$ tale che $\lvert i - j \rvert > 1$. Wlog possiamo presumere$i < j$. Poi$\{k'_1 = k_1,\ldots,k'_i = k_i,k'_{i+1} = k_j,\ldots,k'_{n+1-(j-i)} = k_n\}$ è carino con $n+1-(j-i) < n$, una contraddizione.

Il lemma mostra che nella "condizione di copertura aperta" possiamo sostituire 2. con la condizione (solo apparentemente) più debole $$V_i \cap V_{i+1} \ne \emptyset, i =1,\ldots,n-1 .$$ Permettere $\mathcal U$ essere una copertina aperta di $X$. Per$x_1,x_2 \in X$ definire $x_1 \sim x_2$ se esiste una sequenza finita di sottoinsiemi aperti connessi $V_1,\cdots,V_n$ tale che

  1. Ogni $V_i$ è contenuto in alcuni $U_{\alpha_i} \in \mathcal U$.
  2. $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
  3. $V_i\cap V_{i+1} \neq\emptyset$ per $i = 1,\ldots,n-1$

$\sim$è una relazione di equivalenza. La riflessività è dovuta alla connessione locale (ciascuna$x$ è contenuto in alcuni $U \in \mathcal U$, ora prendi $n=1$ e $V_1$ qualsiasi connesso aperto in modo tale $x \in V_1 \subset U$). La simmetria e la transitività sono evidenti.

Le classi di equivalenza $[x_1]$ riguardo a $\sim $ sono aperti: If $x_2 \in [x_1]$, troviamo una sequenza di $V_i$come sopra. Ma poi ovviamente$x_2 \in V_n \subset [x_1]$. Quindi le classi di equivalenza formano una partizione di$X$in insiemi aperti a coppie disgiunti. Da$X$è connesso, può esserci solo una classe di equivalenza. Quindi due qualsiasi$x_1,x_2 \in X$ sono equivalenti che termina la dimostrazione.

1 HennoBrandsma Aug 16 2020 at 08:58

In questa risposta fornisco una caratterizzazione a catena della connessione. Leggi prima quello. Non ho il "iff$|i-j| \le 1$"parte lì, ma ciò può essere ottenuto utilizzando il $T_1$-ness of $X$, controlla la prova. Personalmente non mi piace mescolare assiomi di separazione in questo modo.

Se $X$ è connesso e connesso localmente, lascia $\{U_{\alpha \in A}\}$ essere una copertina aperta di $X$. Quindi per ciascuno$x \in X$ noi abbiamo $\alpha_x$ e apri connesso $V_x$ tale che $x \in V_x \subseteq U_{\alpha_x}$. Quindi applica la caratterizzazione a catena della connessione di$X$ per $\{V_x: x \in X\}$ e abbiamo mostrato una direzione, l'esistenza di quella copertura dalla connessione e dalla connessione locale.

Come vedere prove $X$connesso e connesso localmente dalla "condizione catena modificata"? La connessione è facile in quanto applichiamo direttamente la condizione alla copertura$\{U,V\}$ quando $U,V$ è una disconnessione di $X$.

Inoltre, lascia $O$ essere aperto, $p \in O$ e lascia $C$ essere un componente di $p$ in $O$. Applicare il fatto alla copertina aperta$\{O,X\setminus \{p\}\}$ di $X$. Per$y \in C$ e $p$ troviamo aperto e connesso $V_1,\ldots V_n$ tale che $p \in V_1$, $q \in V_n$ e $V_i \subseteq O$ o $V_i \subseteq X\setminus \{p\}$ per tutti $i$ e adiacente $V_i$intersecare. Infatti la "catena" deve avere lunghezza$2$ se ci pensi (!), allora $n=2$. Ma allora$V_1 \cup V_2$ è connesso e un sottoinsieme di $O$ e lo dimostra $q$ è un punto interiore di $C$ e $X$ è connesso localmente.