Problemi con $I(\alpha) = \int_0^{\infty} \frac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$

Question

Alla fine sto cercando di risolvere $$I(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$$

utilizzando la differenziazione sotto l'integrale. Mi rendo conto che questo è più facile da fare usando i residui, ma intendo questo problema per introdurre i miei studenti di calcolo avanzato 2 / equazioni differenziali ad alcune tecniche interessanti prima di eseguire un'analisi reale.

Differenziare sotto l'integrale una prima volta porta a

$$I'(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{-x \sin (\alpha x)}{x^2 + 1} dx = - \dfrac{\pi}{2} + \int_0^{\infty} \dfrac{\sin (\alpha x)}{x(x^2 + 1)}dx$$

facendo uso dell'integrale di Dirichlet e di nuovo a

$$I''(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} = I(\alpha)$$

Per risolvere questa ODE di secondo ordine avremo bisogno di due condizioni iniziali. L'integrale per$I'(\alpha)$ porta al risultato errato $I'(0) = 0$ ma la versione riscritta porta al risultato corretto di $I'(0) = -\dfrac{\pi}{2}$. Ho problemi a giustificarlo.

Qualsiasi aiuto o guida è apprezzato. Mi accontento anche di argomenti più semplici sul perché$I'(0) \neq 0$.

Answer 1

Lo stai assumendo $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx= \frac{\pi}{2} $$ ma se $\alpha=0$, poi $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx=0 $$ Quindi, l'uguaglianza $$ \int_{0}^{\infty}\frac{−x\sin(αx)}{x^2+1}dx=-\frac{π}{2}+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(αx)}{x(x^2+1)}dx $$ è vero se e solo se $\alpha>0$.