Proiezioni sullo spazio GNS di Hilbert di uno stato puro

Question

Dato un $C*$ algebra A e uno stato puro $f$ con la costruzione GNS $(\Pi, H, \Omega_f)$ tale che $\Pi(A)''=B(H)$.

1. Esegue una proiezione finita su qualsiasi sottospazio 1d di $H$ restare in $\Pi(A)$?

2. Quali sono gli elementi in $A$ che viene mappato alle proiezioni in $B(H$) dalla rappresentanza GNS $\Pi$.

Answer 1

Prendere $A$ essere qualsiasi C propriamente infinito$^*$-algebra, o senza proiezione. Rappresentalo irriducibilmente. Qualsiasi irrep proviene da uno stato puro, quindi ottieni un esempio dove$\pi(A)$ non ha proiezioni finite, o addirittura nessuna proiezione.

Quanto sopra risponde anche 2: se prendi $A$ essere senza proiezione, diciamo $A=C_r^*(\mathbb F_2)$, poi $\pi(A)$ non contiene proiezioni.