Se $fg$ è continuo a $a$ poi $g$ è continuo a $a$.

Question

Supporre che $f$ e $g$ sono definiti e valutati finiti su un intervallo aperto $I$ che contiene $a$, quello $f$ è continuo a $a$, e quello $f(a) \neq 0$. Se$fg$ è continuo a $a$ poi $g$ è continuo a $a$.

$\underline{Attempt}$

Da $f$ è conituous a $a$ e $fg$ continuo a $a$,

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) \text{ and } \lim_{x\to a}f(x)g(x)=f(a)g(a)$$

così

$$\lim_{x\to a} {f(x)g(x)} = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a}g(x)=f(a)\lim_{x\to a}g(x)=f(a)g(a)$$

da $f(a) \neq0$

$$\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$$

$\therefore g$ è continuo a $a$

Answer 1

La tua prova non è corretta. Stai assumendo l'esistenza di$\lim_{ x \to a} g(x)$ma devi provare l'esistenza di questo limite. Scrivi$g(x)$ come $\frac 1 {f{(x)}} {g(x)f(x)}$ osservandolo $f(x) \neq 0$ Se $|x-a| $è abbastanza piccolo. Ora puoi vedere che il limite esiste ed è uguale$\frac {f(a)g(a)} {f(a)}=g(a)$.

[Lì esiste $\delta >0$ tale che $|x-a| <\delta$ implica $|f(x)-f(a)| <\frac {|f(a)|} 2$. Così$|x-a| <\delta$ implica $|f(x)| >|f(a)| -\frac {|f(a)|} 2=\frac {|f(a)|} 2>0$ e così $f(x) \neq 0$].