Sottospazio dimensionale finito se uno spazio vettoriale normato è chiuso usando l'equivalenza delle norme

Aug 20 2020

Ho mostrato che qualsiasi norma su uno spazio vettoriale reale di dimensione finita è equivalente, quindi la domanda si chiede perché questo implicherebbe che ogni sottospazio a dimensione finita dello spazio vettoriale normato sia chiuso. (Chiuso nel senso che è toplogicamente chiuso, il suo complemento è un sottoinsieme aperto.)

Capisco che norme equivalenti producano la stessa nozione di convergenza, ma ho pochissime idee su dove iniziare. Ho visto alcuni post che mostrano invece che il sottospazio è completo, ma non credo che sia nello spirito di questo problema.

Come devo procedere? Molte grazie in anticipo!

Risposte

АлександрПальма Aug 20 2020 at 16:45

Lo so se $X$ è uno spazio normato su un campo $\mathbb{F}$ e finito-dimensionale con dimensione $n$, così puoi provare $X$ è isomorfo a $\mathbb{F}^{n}$ con la norma euclidea. $[1]$

Un collaterale del risultato di cui sopra è che se $X$ essere uno spazio vettoriale dimensionale finito con norme $||\cdot||_{1}$ e $||\cdot||_{2}$. Poi$||\cdot||_{1}$ e $||\cdot||_{2}$ sono equivalenti.

Ora, se puoi provare quel risultato $[1]$ allora hai che ogni sottospazio dimensionale finito di spazio lineare normato è chiuso.