2軸を中心に回転するオブジェクトの全角運動量を計算します（例：地球）

まず、地球の自転が軌道軸に対してある角度にあると考えてください。

ここに $$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$

結合された回転（上からの負のx軸に関するタイトルが与えられた場合）は

$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]} $$

これはに翻訳することができます

$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$

興味深いのは、地球に対する地球の自転の瞬間中心を計算できることです。 $(c_y,c_z)$ （（$c_z$以下にマイナスを示します）。これは、地球が実際に回転しているポイントです。

ポイントを見つけるには、軌道速度を計算します（正のx軸はページの外にあります）

$$ \vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$

そして回転の中心

$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]} $$

これは、月の距離の単位（1 LD = 384402000 m）で考えると興味深いものです。

$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]} $$

これは常に太陽に向かってほぼ1LDであり、夏至では地球の下で半分のLDであり、冬至では地球上で半分のLDです。

地球の運動学が確立されたので、ダイナミクスについて話すことができます。

地球は回転しています $\vec{w}$ したがって、地球の中心での角運動量は $$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ どこ ${\rm I}_E$ は地球の質量慣性モーメントです。

しかし、地球も平行移動しているので、直線的な運動量を持っています $$ \vec{p} = m_E \vec{v}$$。

太陽の周りの地球の角運動量を計算するには、次のルールで両方の量を組み合わせます

$$ \vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p} $$

計算を行うと、z軸に沿って角運動量の大部分が見つかり、y軸に沿って小さな成分があります。

興味深いのは、地球の打撃軸が通過する空間内の場所を見つけることができるということです。上記と同様に、この点は

$$ \pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2} $$

空間におけるこの点の重要性は、もしあなたが等しく反対の運動量を適用するならば、 $\vec{p}$パーカッションの中心を通って地球に向かって、地球は軌道を回るのを止めるだけでなく、回転も止めます。このポイントを通過する1つのインパルスで、地球のすべての運動エネルギーを取り除くことができます。それはその軌道上で地球を止めるでしょう。

驚いたことに、2つの角速度を合計するための規則は、「これらの角速度の軸」がオブジェクトを通過するかどうか、およびそれらが交差するかどうかに依存しません。

物体の角速度は、選択した慣性座標系に依存しません。体に矢印が付いているとします。現時点では$t_0$ この矢印は遠くの星を指しています $A$; 現時点では$t_1$ この矢印は別の遠い星を指しています $B$-まあ、それが本当なら、それがすべての慣性座標系で真実であるよりも。そして、体の向きがどれだけ速く変化するか-それは基準系に依存しません（基準系が慣性である限り）。

それでは、地球の全角速度を測定しましょう。最初に、太陽に取り付けられ、地球の速度がゼロになるように回転する基準系でそれを測定することが可能です。この基準系における地球の角速度は次のようになります。$\vec\omega$。基準座標系の角速度は$\vec\Omega$、したがって、地球の全角速度は $\vec\omega + \vec\Omega$。それは北極星に向かうベクトルであり、その大きさはおよそです$1/86164sec$ -ここで、86164は恒星日の秒数であり、遠方の星に対する地球の自転の周期です。

質問の2番目の部分に移ります。「これまでに見たすべての教科書/ウェブページで、太陽の周回による角運動量が、地球の自転による角運動量とは別に計算されているのを見てきました。 「」

今回は、基準系が太陽に取り付けられており、慣性です。この基準系で地球の全角運動量を計算する「公正な」方法は、地球を多くの小さな部分に分割し、各部分の運動量を計算して、結果を合計することです。地球のすべての質量が重心にあるかのように地球の運動量を計算し、これら2つのベクトルを合計するよりも、地球の重心の周りの運動量を計算する方が簡単です。全体の結果は同じになります-それは単純な数学的定理です。

地球の自転による運動量は、地球が太陽の周りを自転することによる運動量よりもはるかに小さいことに注意してください。さらに重要なのは、Erathの総運動量（つまり、これら2つのベクトルの合計）が時間的に一定であるだけでなく、これらのコンポーネントのそれぞれがそれ自体で一定であるということです。（私たちは月や他の惑星の影響を無視します）。したがって、地球の速度が太陽までの距離にどのように依存するか（ケプラーの法則）の詳細を計算する場合は、地球の角運動量の「自軸周りの回転」部分を無視しても問題ありません。