A composição do polinômio inteiro e do polinômio racional com um coeficiente não inteiro pode resultar em polinômio inteiro?

Question

Podemos encontrar dois polinômios $p(x)$ e $q(x)$, Onde $p(x)$ é um polinômio monic não constante sobre inteiros e $q(x)$ é um polinômio monic sobre racionais com pelo menos um coeficiente não inteiro, de modo que sua composição $p(q(x))$é um polinômio sobre inteiros? Se não, como provar?

Por exemplo, deixe $q(x)=x^2+\frac{1}{2}x+1$ e $p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, então $p(q(x))=x^6+\frac{3}{2}x^5+\dots$, então não importa quais números inteiros $a_i$escolhermos, o polinômio resultante terá um coeficiente não inteiro. A condição monica é importante, caso contrário poderíamos multiplicar$p(x)$com tal número inteiro que garantiria que todos os coeficientes fossem números inteiros. Tentei observar o coeficiente na composição de polinômios gerais, que acredito que deva seguir esta fórmula:

\begin{align} [x^r]p(q(x))=\sum_{k_1+2k_2+\dots+mk_m=r}\sum_{k_0=0}^{n-(k_1+\dots+k_m)}\binom{k_0+k_1+\dots+k_m}{k_0,k_1,\dots,k_m}a_{k_0+k_1+\dots+k_m}\left(\prod_{j=0}^{m}b_j^{k_j}\right) \end{align} (aqui $a_i$ e $b_i$ são os coeficientes de $p(x)$ e $q(x)$ com graus $n$ e $m$, respectivamente). No entanto, não está claro em qual coeficiente focar para provar que ele fornecerá o número não inteiro.

Isso surgiu ao tentar resolver o Infinitamente muitas soluções leva à existência de um polinômio , mas parece interessante o suficiente por si só.

Answer 1

Na verdade, podemos ignorar a suposição de que $q$é monic. A composição$p \circ q$ não pode ter todos os coeficientes inteiros.

Para deixar $p$ ser um fator principal de algum denominador totalmente simplificado de um coeficiente de $q$. Considere o maior$k$ st $p^k$ é um fator de algum denominador de um $q$coeficiente. Em seguida, escreva o polinômio$q$ Como $x^j w(x) / p^k + s(x)$, onde cada numerador totalmente simplificado de $w(x)$ não é divisível por $p$ e nenhum denominador totalmente simplificado de $s(x)$ é divisível por $p^k$, e onde $w$tem um termo constante diferente de zero. Faça isso agrupando todos os termos com denominadores divisíveis por$p^k$, obtendo $x^j w(x) / p^k$, e todos os termos com denominadores não divisíveis por $p^k$, obtendo $x(x)$.

Deixei $n$ seja o grau de $p$, e considere o coeficiente de $x^{jn}$ no $p \circ q$. Uma das somas de contribuição será$w(0)^n / p^{kn}$, que é totalmente simplificado. E nenhuma das outras somas pode ter um denominador divisível por$p^{kn}$. Portanto, este coeficiente não é um número inteiro.