$A$é matriz real e para alguns$k\geq 2,A^{k}$é semelhante a uma matriz ortogonal, como provar$A$também é semelhante a uma matriz ortogonal?

Aug 17 2020

Minha tentativa.

$A^{k}=POP^{-1}$.Aqui$O$é uma matriz ortogonal. Quero encontrar uma matriz ortogonal$O_{1}$e$O_{1}^{k}=O.$Acho que isso poderia ser feito porque a matriz invertível sempre tem uma 'raiz quadrada'. Mas mesmo que isso pudesse ser feito e$A^{k}\sim O_{1}^{k}.$Isso ainda não dará nenhuma informação sobre$A$.Então, como usar as informações fornecidas por alguma forma canônica de$A^{k}$para encontrar informações sobre$A$?

Nova tentativa.

Acho que talvez eu deva considerar esse problema em$\mathbb{C}.$Então$O$é uma matriz normal complexa especial. Então, pelo teorema espectral$O$é diagonalizável em$\mathbb{C}$.Isso significa$A^{k}$é diagonalizável e seu módulo de autovalores é 1. Assim como A. Assim$A\sim M=diag\{e^{i\theta_{1}},\cdots,e^{i\theta_{s}},\lambda_{s+1},\cdots,\lambda_{n}\}.$É claro que M é semelhante a uma matriz ortogonal em$\mathbb{C}.$

Esta prova é bastante estranha, pois muitas vezes consideramos apenas$\mathbb{R}$ao falar sobre matriz ortogonal e o problema em si não indica o campo que usamos.

Existe alguma solução melhor?

Respostas

1 user8675309 Aug 17 2020 at 05:50

eu assumo$P$é uma matriz de valores reais. (Se for necessário$\mathbb C$o abaixo pode ser ligeiramente alterado para contemplar as formas hermitianas.)

Considere o espaço vetorial de coordenadas dado por$V=\mathbb R^n$e um operador linear neste espaço dado por$T:= P^{-1}AP$. Basta mostrar que$T$é semelhante a uma matriz ortogonal real. Desde$T^k$é não singular, então é$T$.

Com$\langle, \rangle$denotando o produto interno real padrão, definimos a seguinte forma bilinear simétrica personalizada . Por$v,v' \in V$

$\langle v, v' \rangle_c := \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$.
É imediato que esta forma é positiva definida. Aviso prévio

$\langle Tv, Tv' \rangle_c $
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle $
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=0}^{k-2}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle T^{k}v, T^{k}v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=1}^{k-1}\langle T^{j}v, T^{j}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle v, v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$
$=\langle v,v' \rangle_c $

Isso implica$T$é um operador ortogonal em relação ao formulário bilinear personalizado.

Agora calcule a imagem de$T$em relação a uma base bem escolhida
$T\mathbf B=\mathbf BQ$
Onde$\mathbf B$é selecionado para ser uma base ortonormal em relação à forma bilinear personalizada e$Q$é alguma matriz. Como nosso espaço vetorial é$V=\mathbb R^n$, nós notamos que$\mathbf B$também pode ser interpretada como uma matriz invertível.

$\langle v, v' \rangle_c = \langle Tv, Tv' \rangle_c \longrightarrow$ $Q$é ortogonal em relação ao produto interno padrão .

Finalmente
$T =T\big(\mathbf B\mathbf B^{-1}\big) = \big(T\mathbf B\big)\mathbf B^{-1}= \big(\mathbf BQ\big)\mathbf B^{-1}= \mathbf BQ\mathbf B^{-1}$

portanto$T$é semelhante a uma matriz ortogonal

justificativa detalhada que$Q^TQ = I$:
$v = \mathbf B\mathbf x$e$v' =\mathbf B y$;
$\mathbf w = Q\mathbf x$e$\mathbf z = Q\mathbf y$
$\langle T v, Tv'\rangle_c$
$=\langle T\mathbf B\mathbf x\mathbf , T\mathbf B\mathbf y\rangle_c$
$=\langle \mathbf B (Q\mathbf x), \mathbf B(Q\mathbf y)\rangle_c$
$=\langle \mathbf B \mathbf w, \mathbf B\mathbf z\rangle_c$
$=\langle \sum_{k=1}^n \mathbf b_k w_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\langle \mathbf b_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\sum_{i=1}^n z_i \langle \mathbf b_k , \mathbf b_i \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k\langle \mathbf b_k , \mathbf b_k \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k$
$=\mathbf w^T\mathbf z$
$=\mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
e por cálculo virtualmente idêntico$\langle v, v'\rangle_c = \mathbf x^T \mathbf y\longrightarrow \mathbf x^T \mathbf y = \mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
onde a implicação segue porque$\langle Tv, Tv'\rangle_c = \langle v, v'\rangle_c$
Uma vez que o acima é válido para a seleção de$\mathbf x$e$\mathbf y$concluimos que$Q$é ortogonal em relação ao produto interno padrão .

note
O texto acima também fornece uma prova de por que$M^k = I$implica que$M$é diagonalizável sobre$\mathbb C$, Como$I$é apenas um caso especial de uma matriz ortogonal real. O acima mostra que$M$é semelhante a uma matriz ortogonal real que pelo teorema espectral é semelhante a uma matriz diagonal (sobre$\mathbb C$). A prova padrão desse resultado que você verá neste site usa um argumento de polinômio mínimo, embora o polinômio mínimo não pareça se aplicar também à pergunta do OP.