A extensão de um grupo amenizável por um grupo amenizável é amenizável
Eu gostaria de provar que se $H\subset G$ é um subgrupo normal receptivo, de modo que $G/H$ é receptivo, então $G$é receptivo. A definição de amenidade que estou usando é a seguinte:
Um grupo $G$ é suscetível se cada ação de $G$ por homeomorfismos de um espaço métrico compacto admite uma medida de probabilidade invariável.
Essa definição pode ser encontrada em "Grupos de difeomorfismos de círculo" de Navas. Já tentei de várias maneiras, mas não consegui provar. Sei que existem muitas definições equivocadas para amenidade, mas gostaria (se possível) de uma prova que só use essa definição.
Aqui está o que eu fiz até agora: $G$ age em $(M,d)$ então $G/H$ age em $M/H$ (o quociente de $M$ pelas órbitas de $H$), o problema é que este grupo não é necessariamente métrico, que poderia dotar o grupo de quociente com o pseudométrico $d'$ dado na wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space#Quotient_metric_spaces (a topologia pode ser mais fraca do que a topologia de quociente) e, em seguida, faça outro quociente $X=(M/H)/\sim$ Onde $[x]\sim [y]$ E se $d'([x],[y])=0$. Aqui$X$ é um espaço métrico compacto e poderíamos tomar a ação de $G/H$ em $X$ dado por ${[g]}({[[x]]})=[[y]]$ E se $[[g(x)]]=[[y]]$, Desde a $G/H$ é passível de existir uma medida de probabilidade invariável, a saber $\nu$. Agora os conjuntos$A_{[[x]]}=\lbrace y\in M:[[y]]=[[x]]\rbrace$ são compactos e invariantes sob a ação de $H$, então cada um tem uma medida de probabilidade invariável, a saber $\mu_{[[x]]}$ e poderíamos definir a medida de probabilidade em $M$ Como $$\mu(B)=\int_X \mu_{[[x]]}(B\cap A_{[[x]]})d\nu([[x]]).$$
Não sei se isso funciona em geral, não pude provar ou contestar, suponho que não funcione, pois pode haver algum deslocamento interno das órbitas de $H$ nos sets $A_{[[x]]}$, mas espero que isso lhe dê algumas dicas do que estou tentando até agora.
Espero ter sido claro, muito obrigado antecipadamente.
Algo que pode ajudar: O espaço de medidas de probabilidade em um espaço métrico é compacto, então você pode usar a convergência de medidas de probabilidade.
Respostas
Consertar um espaço métrico compacto $M.$ Deixei $W(M)$ denotam o espaço Wasserstein para $M$: o espaço de medidas de probabilidade em $M,$com a métrica de Wasserstein. A propriedade importante é que esta métrica fornece a topologia de convergência fraca, tornando$W(M)$ um espaço métrico compacto.
Deixei $W(M)^H$ denotam o subespaço de $H$-medidas invariantes. Este é fechado, então também é um espaço métrico compacto.
Uma ação de $G$ em $M$ dá uma ação $(gp)(A)=p(g^{-1}A)$ em $W(M).$ Desde a $H$ é normal, $G$ conservas $W(M)^H$: E se $p$ é $H$ invariante então $p(g^{-1}hA)=p((g^{-1}hg)g^{-1}A)=p(g^{-1}A).$ Mas $H$ age trivialmente em $W(M)^H,$ então na verdade $G/H$ age em $W(M)^H.$ Desde a $G/H$ é receptivo há um $G$-medida invariante $\xi$ em $W(M)^H.$
Esta é uma medida de probabilidade em um espaço de medidas de probabilidade. Para obter uma medida no espaço original$M,$precisamos de integração de medidas. Ou, em outras palavras, a multiplicação da mônada Kantorovich . Definir$E\xi\in W(M)$ de $(E\xi)(A)=\int p(A)d\xi(p)$ para cada borel $A.$ o $G$-invariância de $\xi$ implica o $G$-invariância de $E\xi$: $$(gE\xi)(A)=\int (gp)(A)d\xi(p)=(E\xi)(A).$$
Finalmente, gostaria de mencionar que o mesmo argumento funciona se você descartar a condição de metrizabilidade em todos os lugares. A existência de uma medida de probabilidade invariável para cada$G$-a ação em um espaço compacto de Hausdorff é uma das poucas definições de amenidade que generaliza utilmente para grupos não compactos localmente.
Eu acho que a equivalência da definição de Navas e a noção padrão de amenabilidade é chamada de teorema de Bogolyubov-Dey. Você pode encontrá-lo em muitos lugares, consulte, por exemplo, a Proposta 3.6 em
Grigorchuk, Rostislav; de la Harpe, Pierre , Amenabilidade e propriedades ergódicas de grupos topológicos: de Bogolyubov em diante , Ceccherini-Silberstein, Tullio (ed.) et al., Grupos, gráficos e passeios aleatórios. Artigos selecionados do workshop, Cortona, Itália, de 2 a 6 de junho de 2014 por ocasião do 60º aniversário de Wolfgang Woess. Cambridge: Cambridge University Press (ISBN 978-1-316-60440-3 / pbk; 978-1-316-57657-1 / ebook). London Mathematical Society Lecture Note Series 436, 215-249 (2017). ZBL1397.43001 .
(Leia aqui para obter uma versão gratuita.) Dado este resultado, você pode usar muitas das provas disponíveis do fato de que a classe de grupos acessíveis é fechada por extensões, por exemplo, aqui ou um de muitos outros livros que tratam de grupos receptivos.
Editar. É claro a partir do contexto do livro que Navas define amenidade (e, por exemplo, propriedade T) apenas para grupos equipados com topologia discreta. É lamentável que ele nunca mencione a amenidade no contexto de grupos topológicos (equipados com topologia não discreta), use uma definição não padronizada de amenidade e não forneça referências (até onde posso dizer) para um tratamento geral de grupos propícios (e não vários deles, consulte as referências aqui , pelo menos no caso de grupos localmente compactos que incluem grupos discretos).