A importância de aproximar $\mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $
A fim de mostrar que o gerador infinitesimal do movimento browniano é $\frac{1}{2}\Delta$, nesta resposta , primeiro ele escreve a equação$$ \frac{d}{dt} P_t f(x) = A P_tf(x), \tag{1} $$ então ele deriva a seguinte aproximação: $$ \mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $$ Então, é argumentado que "De (1), vemos que $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ é a (única) solução da equação do calor "
Conforme discutido aqui , não podemos simplesmente substituir a aproximação na equação do calor. Se então,
- Por que o autor desse post fez essa aproximação? como ele usou essa aproximação para a prova? se ele não usasse,
- Alguém pode explicar mais o seu argumento de que: "De (1) vemos que $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ é a solução (única) da equação do calor ... "?
Respostas
Sua confusão pode surgir porque você acha que de alguma forma a aproximação serve para construir uma solução para a equação do calor. O que está acontecendo é que você começa com uma solução para alguma equação diferencial parcial (PDE), e a aproximação serve para identificar essa PDE como a equação do calor. Nenhuma prova foi fornecida em nenhum dos posts que você vinculou. Eles são apenas argumentos formais para ajudar a desenvolver a intuição.
Comece com sua segunda pergunta. Equação (1) é$$\frac{d}{dt}P_t f(x) = A P_t f(x).$$Por definição ,$P_t f(x) = \mathbb{E}^x [f(B_t)].$ Configuração $u(t,x) = P_t f(x)$ na equação (1), temos $$\frac{d}{dt} u(t,x) = A u(t, x). \tag{$\ spadesuit$}$$ Aqui, $A$ é um operador diferencial, então $u(t,x)$resolve algumas equações diferenciais com algumas condições iniciais. Qual equação diferencial é?
Para adivinhar qual equação diferencial é, a aproximação$u(t,x) \approx f(x) + t f''(x)/2$é usado. Colocando isso diretamente no lado esquerdo de ($\spadesuit$), você encontra $$\frac{d}{dt} u(t,x) = \frac{d}{dt}\left(f(x) + t\frac{f''(x)}{2}\right)=\frac{f''(x)}{2}=Au(t,x).$$ Com base nesta relação, você consegue adivinhar o que $A$ é?