$a\in \mathbb{N}$, $p$ prime, $a<p$ prove isso $a\mid p+1\iff\exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ [duplicado]

Question

$a\in \mathbb{N}$, $p$ prime, $a<p$ prove isso $a\mid p+1\iff \exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

minha tentativa:

$a\cdot b \cdot c=p\cdot(b+c)$ .

eu não sei como usar o dado
$a\mid p+1$

Answer 1

Nós temos $ a \mid p+1$ então aí está $\lambda$ de tal modo que $\lambda a =p+1$. Agora divida por$ \lambda p$& temos \ begin {eqnarray *} \ frac {a} {p} = \ frac {1} {\ lambda} + \ frac {1} {p \ lambda}. \ end {eqnarray *}

A outra implicação: nós temos $ \dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ ou $abc=p(b+c)$. Multiplique isso por $a$ & reorganizar para $(ab-p)(ac-p)=p^2$.

Isso dá três possibilidades $ab-p=1$ ou $ac-p=1$e o resultado segue. Ou$ab-p=p,ac-p=p$ que dá $ab=ac=2p$ tão $a=1$ ou $a=2$ e novamente o resultado segue.