A melhor maneira de resolver equações paramétricas não lineares estupidamente complicadas com reduzir / resolver etc.
Eu tenho uma função não linear paramétrica que é literalmente um pesadelo. Sei que as raízes existem, são reais e os dois parâmetros p,e
são positivos. O que eu esperava do mathematica era conseguir uma solução (na forma de uma raiz, sem forma fechada), mas mesmo deixando o programa funcionar a noite toda eu me rendi. Não consigo compreender se sou eu que estou a enquadrar o problema de uma forma não eficiente, se é o meu pc que necessita de actualizações graves ou se o problema é simplesmente demasiado difícil para métodos como Reduzir ou Resolver. Se for o último caso, acho que estou condenado ... Alguma dica para os outros dois? Obrigado pela ajuda.
Minhas tentativas e a equação:
f[x_]:=(1/(8 (p^2+x^2)^3))p^2 (-2 p^6+p^5 (4-8 x)+2 p^3 (3-8 x) x^2-6 p x^4+p^4 (80000+2 x-9 x^2)+2 p^2 x (40000+60000 x+x^2-5 x^3)-3 x^3 (-80000+40000 x+x^3)+(4 Sqrt[10] e x (p^2+x^2)^2 (2 p x^3+p^4 (-2+3 x)+2 p^3 x (-3+4 x)+x^2 (-80000+40000 x+x^3)+2 p^2 (40000-60000 x-x^2+2 x^3)))/Sqrt[-e p^2 (-1+x) x^2 (p^2+x^2)^2 (-40000+p^2+2 p x+x^2)])
Reduce[f[x]==0 && x>=0 &&p>=0 && e>=0,x,Reals] (*stuck running*)
Solve[f[x]==0 && x>=0 &&p>=0 && e>=0,x,Reals] (*stuck running*)
Respostas
Se você estiver satisfeito com uma resposta aproximada, pode tentar usar NDSolveValue. Sua função:
f[x_] := (1/(8 (p^2+x^2)^3))p^2 (-2 p^6+p^5 (4-8 x)+2 p^3 (3-8 x) x^2-6 p x^4+p^4 (80000+2 x-9 x^2)+2 p^2 x (40000+60000 x+x^2-5 x^3)-3 x^3 (-80000+40000 x+x^3)+(4 Sqrt[10] e x (p^2+x^2)^2 (2 p x^3+p^4 (-2+3 x)+2 p^3 x (-3+4 x)+x^2 (-80000+40000 x+x^3)+2 p^2 (40000-60000 x-x^2+2 x^3)))/Sqrt[-e p^2 (-1+x) x^2 (p^2+x^2)^2 (-40000+p^2+2 p x+x^2)])
Para usar NDSolveValue, precisamos conhecer uma condição de contorno. Por exemplo, aqui está o valor de x
quando p
é 1
:
x1 = x /. Block[{p=1}, First @ Solve[f[x] == 0, x]]
Root [256006399839996 + 1023948800640 e + (255942399200020 - 3071999998080 e) # 1 + (511955203840004 + (-2304217598880 e) # 1 ^ 2 + (1279846402079976 - 2048025605760 e) # 1 ^ 3 + (-960840279824) # 1 ^ 3 + (-96360274089924) (192129617159615 + 4095897593600 e) # 1 ^ 5 + (-384151995680463 - 512486397600 e) # 1 ^ 6 + (-3455678391520375 + 2047846414080 e) # 1 ^ 7 + (2880427177039798 - 332788480 e) # 1 ^ 82482256 + (-3455678391520375 + 2047846414080 e) # 1 ^ 7 + (2880427177039798 - 332788480 e) # 1 ^ 82482256 + 2452414080e) # 1 ^ 7 + (2880427177039798 - 332788480 e) # 1 ^ 82482256- 1024102385280 e) # 1 ^ 9 + (43199520578 + 256064008800 e) # 1 ^ 10 + (-14402879738 - 25598080 e) # 1 ^ 11 + (-359829 + 12802240 e) # 1 ^ 12 + 360087 # 1 ^ 13 + ( 9 + 160 e) # 1 ^ 14 + 9 # 1 ^ 15 &, 1]
Agora, podemos usar NDSolveValue:
sol = NDSolveValue[
{
D[f[x[p,e]]==0, p], x[1, e] == x1},
x,
{p,.1,100},
{e,.1,10000},
MaxStepFraction->.0005,
PrecisionGoal->10
]; //AbsoluteTiming
{19,2292, nulo}
Verifique algumas amostras aleatórias:
Block[{p = 50, e = 200}, f[sol[p, e]]]
Block[{p = 10, e = 2000}, f[sol[p, e]]]
6,42413 * 10 ^ -9
8.0893 * 10 ^ -9
Visualização:
Plot3D[sol[p,e], {p,.1,100}, {e,.1,10000}]

FWIW, aqui está uma meia solução: pegue o numerador, racionalize-o para que seja um polinômio e encontre as raízes. O que falta fazer é selecionar aqueles que são positivos quando p
e e
são positivos. Esta etapa leva muito tempo (se é que pode ser feita), exceto quando valores numéricos específicos são fornecidos para p
e e
.
num = Simplify[ff, x >= 0 && p >= 0 && e >= 0] // Together //
Numerator // Simplify[#, x >= 0 && p >= 0 && e >= 0] & //
FactorList // #[[-1, 1]] & // Simplify
(* p Sqrt[-e (-1 + x) (-40000 + p^2 + 2 p x + x^2)] (2 p^6 + 6 p x^4 + p^5 (-4 + 8 x) + 2 p^3 x^2 (-3 + 8 x) + p^4 (-80000 - 2 x + 9 x^2) + 3 x^3 (-80000 + 40000 x + x^3) + 2 p^2 x (-40000 - 60000 x - x^2 + 5 x^3)) - 4 Sqrt[10] e (2 p x^5 + 4 p^3 x^3 (-1 + 2 x) + p^6 (-2 + 3 x) + 2 p^5 x (-3 + 4 x) + p^2 x^3 (-80000 - 2 x + 5 x^2) + x^4 (-80000 + 40000 x + x^3) + p^4 (80000 - 120000 x - 4 x^2 + 7 x^3)) *)
Verifique se há dois termos (o primeiro obviamente contém o radical):
Length@num
(* 2 *)
rat = num*MapAt[-# &, num, 1] // Expand // Simplify
(* e (p^2 (-1 + x) (-40000 + p^2 + 2 p x + x^2) (2 p^6 + 6 p x^4 + p^5 (-4 + 8 x) + 2 p^3 x^2 (-3 + 8 x) + p^4 (-80000 - 2 x + 9 x^2) + 3 x^3 (-80000 + 40000 x + x^3) + 2 p^2 x (-40000 - 60000 x - x^2 + 5 x^3))^2 + 160 e (2 p x^5 + 4 p^3 x^3 (-1 + 2 x) + p^6 (-2 + 3 x) + 2 p^5 x (-3 + 4 x) + p^2 x^3 (-80000 - 2 x + 5 x^2) + x^4 (-80000 + 40000 x + x^3) + p^4 (80000 - 120000 x - 4 x^2 + 7 x^3))^2) *)
Solve[rat == 0, x]
(* <15 Root objects> *)
Essas raízes contêm soluções estranhas, e parece que é necessário substituir os valores numéricos pelos parâmetros para trabalhar com eles. Se tal abordagem for útil, talvez seja melhor substituir os parâmetros f[x]
e lidar com a equação resultante f[x] == 0
.