A regra da cadeia é válida para derivativos gerais?
Para espaço vetorial $\mathbb{R}^n$ temos derivadas parciais, que obedecem à regra da cadeia, por exemplo:
deixei $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$, assume a base padrão para $\mathbb{R}^n$ é $x^i$ e base padrão para $\mathbb{R}^m$ é $y^j$.Assim, para composição, temos:
$$\left.\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right|_{p}(f \circ F)=\frac{\partial f}{\partial y^{j}}(F(p)) \frac{\partial F^{j}}{\partial x^{i}}(p)$$
que é a regra da cadeia padrão.
Agora considere a derivada geral do caso como um mapa linear entre álgebra $v:A\to B$ com $v(fg) = fv(g)+gv(f)$.
Neste caso, a regra da cadeia para composição $v(f\circ g)$ainda segura? Parece que não?
(sabemos pelo diferencial $dF_p:T_pM\to T_p N$ a regra da corrente ainda é válida)
Respostas
No caso de variedades suaves, o que você chama de regra da cadeia é uma manifestação da funcionalidade do functor tomando uma variedade com ponto marcado $(M,p)$ para seu espaço tangente $T_pM$ e fazer um mapa suave de tais objetos $f:(M,p)\to (N,q)$ ao diferencial associado $df_p:T_pM\to T_qN$. A funcionalidade diz que dada uma composição$$ (M,p)\xrightarrow{f} (N,q)\xrightarrow{g}(P,r)$$ existe uma relação $d(g\circ f)_p=dg_q\circ df_p$. Em linguagem menos abstrusa, isso apenas diz que o diferencial da composição é a composição dos diferenciais. Colocando isso em termos concretos, dado$$ \Bbb{R}^n\xrightarrow{F} \Bbb{R}^m\xrightarrow{f} \Bbb{R}$$ como acima, sabemos que os diferenciais são respectivamente $$ \bigg[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}\bigg]_p$$ e $$ \bigg[\frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg]_{F(p)}$$ onde as coordenadas no primeiro espaço são $x^1,\ldots, x^n$ e as coordenadas no segundo espaço são $y^1,\ldots, y^m$ e a primeira matriz é $m\times n$, e o segundo é $1\times m$. O composto do diferencial é a multiplicação dessas matrizes, que é enquanto você escreve$$ \bigg[ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\frac{\partial f}{\partial y^i}(F(p))\bigg]$$ onde este é um $1\times n$ matriz.
A pergunta que você está fazendo é diferente. Vamos dizer que$A$ e $B$ está $k-$álgebras para algum campo $k$. Então um morfismo$v:A\to B$ qual é $k-$linear e Leibniz (ou seja $v(fg)=v(f)g+fv(g)$) é um tipo de operador diferencial. No entanto, aqui não está claro o que você deseja que a regra da cadeia signifique. A regra da cadeia é o que ocorre quando aplicamos um operador diferencial a um composto de funções em nossa configuração de variedade. Nesse caso,$f\circ g$ nem mesmo faz sentido a priori.
Eu faço a seguinte proposta: Dada uma categoria de espaços geométricos $\mathscr{C}$, e uma "função" $F: \mathscr{C}\to \mathscr{A}$, atribuindo a cada espaço $X$ uma estrutura algébrica $F(X)$, nós dizemos que $F$obedece a uma regra de corrente se$F$ é funcional no sentido acima: dado $$ X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$$ temos $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$. Isso é reconhecidamente um pouco vago, mas ilustra o que "usamos" para definir a regra da cadeia.