Ajuda para entender a fórmula de variância alternativa

Question

A definição de variância com a qual me sinto confortável é

$$\Sigma_s{(x_i -\bar{x})(y_i -\bar{y})p(x_i,y_i)}$$

Mas eu vi um que se parece com isso e estou lutando para ver como eles são equivalentes.

$$\Sigma_x \Sigma_y (x+y)^2 P_{XY}-(E(x+y))^2$$ fonte

Answer 1

O primeiro item que você listou é a covariância de$x_i$e$y_i$. A segunda fórmula que você listou é a variância de$x+y$(ou seja$Var(x+y)$).

Para ver isso, observe que podemos escrever$Cov(X,Y)$Como:

\begin{eqnarray*} {Cov(X,Y)} & = & E(XY)-E(X)(EY)\\ & = & \sum x_{i}y_{i}p_{XY}(x_ {i},y_{i})-\soma x_{i}p(x_{i},y_{i})\soma y_{i}p_{XY}(x_{i},y_{i})\ \ & = & p_{XY}(x_{i},y_{i})\esquerda(\soma x_{i}y_{i}-\soma x_{i}\soma y_{i}\direita)\\ & = & \sum(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})p_{XY}(x_{i}y_{i}) \end{eqnarray*}

A segunda fórmula que você listou é derivada da fonte para a qual você criou um hiperlink na Seção de variação.

As duas fórmulas não são equivalentes.