Amostragem independente de variáveis ​​aleatórias dependentes

Question

Deixei $x_1, \ldots, x_n$ser possivelmente variáveis ​​aleatórias dependentes , cada uma tomando valores$x_i \in \{0, 1, 2\}$. Suponha ainda que em cada resultado o número de variáveis ​​aleatórias iguais a 2 seja exatamente 1. Agora, para cada$i \in \{1, \ldots, n\}$ definir $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ e para cada $i \in \{1, \ldots, n\}$ deixei $y_i$ ser uma variável aleatória de Bernoulli que é 1 independentemente com probabilidade $f_i$ e 0 caso contrário.

A seguinte conjectura está correta ou há uma distribuição no $x_i$está refutando isso?

Conjectura: existe um$\epsilon > 0$ (ie $\epsilon$ sendo independente de $n$) de modo que com probabilidade pelo menos $\epsilon$, há exatamente um índice $i$ Onde $y_i = 1$.

Pergunta relacionada: Limites da variação da soma das variáveis ​​aleatórias dependentes

Answer 1

A resposta é "não" (se entendi bem a pergunta).

Considere a seguinte distribuição de junta intercambiável do $x_i$s. No evento$A$, que ocorrem com probabilidade $1/\sqrt n$, todos $x_i$s são 1, exceto um 2. No evento de complemento $B$, todos $x_i$s são 0 exceto para um 2.

Sob esta distribuição, $f_i$ é 0 ou $1/\sqrt n$. Deixei$Y=\sum y_i$. Desde a$E[ Y|A]=\sqrt n$e $E[Y|B]=1/\sqrt n$, em qualquer caso, está muito longe de 1; portanto, a probabilidade de que haja exatamente um positivo$b_i$ está desaparecendo.