Anéis semiprimários: limite mais agudo para comprimentos de corrente dos principais ideais
Um anel com unidade $A$ é chamado de semiprimário, se $\mathfrak r:=\mathrm{Jac}(A)$ é nilpotente e ${A}/{\mathfrak r}$é semi-simples (Artiniano). Estou tentando encontrar uma prova (ou contra-exemplo) para:
Quando $A$ é semiprimário e $\mathfrak r^n=(0)$ enquanto ${A}/{\mathfrak r}$ é de comprimento $l$ como um $A$-módulo, então cada sequência de ideais principais de esquerda (ou direita) em $A$ tem no máximo $ln$ inclusões adequadas.
Eu tropecei nisso, enquanto estudava caracterizações de anéis semiprimários (e outras famílias de). Eu encontrei a declaração no artigo [ 1 (Björk) , Seção 0], mas Björk a afirma sem provas. Para comutativo$A$, é definitivamente verdade (veja a prova abaixo), mas não consigo segurar o caso não comutativo. Se for verdade, isso vale em particular para anéis artinianos de um lado - pode ser mais fácil lidar com eles primeiro, mas não tenho certeza se isso realmente simplifica o problema.
Eu ficaria feliz em obter qualquer ajuda para provar o limite certeiro ou qualquer ideia para um contra-exemplo.
Edit: Jeremy resolveu dando um bom contra-exemplo em sua resposta abaixo. Como pergunta de acompanhamento: Alguém conhece o limite geral mais acentuado$b(l,n)$no caso não comutativo? Fim da edição
Existe uma versão qualitativa mais fraca:
Um anel é semiprimário se e somente se houver um limite superior para os comprimentos das cadeias adequadas dos ideais principais de esquerda (ou direita).
Até agora, eu só encontrei um outro lugar onde isso é discutido na literatura: [ 2 (livro de Rowen) , Teorema 2.7.7]. Rowen dá uma prova (veja abaixo para um esboço) da caracterização qualitativa com o limite geral mais fraco$l^{n+1}-1$ (quando $l>1$) Eu acho, pode-se realmente obter$l+l^2+\ldots+l^n$ de sua prova, mas isso ainda está muito longe do limite de Björk.
A propósito, pode-se deduzir um resultado mais geral como corolário:
Para um arbitrário $A$-módulo, qualquer cadeia de submódulos tendo no máximo $r$ geradores, tem no máximo $b(lr,n)$ inclusões adequadas.
Esboço da prova: tal corrente adequada pode ser elevada a uma corrente adequada de $r$- submódulos gerados do módulo esquerdo (ou direito) $A^r$ e isso corresponde a uma cadeia adequada de ideais principais de esquerda (ou direita) do anel de matriz $C:=M_r(A)$. Agora,$C$ também é semiprimário com $(\mathrm{Jac}(C))^n=(0)$ enquanto ${C}/{\mathrm{Jac}(C)}$ tem comprimento $lr$ sobre $C$, então terminamos pelo $r=1$ caso.
Voltando à afirmação de Björk sobre os principais ideais, aqui está o que consegui / tentei até agora:
Prova para os casos $n=1$ e $l=1$, respectivamente
$n=1$ é trivial. $l=1$ significa $(A,\mathfrak r)$ é local, então se $\mathfrak a_0\subsetneq\ldots\subsetneq\mathfrak a_m$ é uma cadeia adequada dos principais ideais de esquerda em $A$, então $\mathfrak a_{m-1}\subseteq\mathfrak r$, conseqüentemente $\mathfrak a_{m-1}$ é um ${A}/{\mathfrak r^{n-1}}$-módulo com uma cadeia adequada de submódulos cíclicos de comprimento $m-1$. Isso leva a uma cadeia adequada dos principais ideais de esquerda em${A}/{\mathfrak r^{n-1}}$ de comprimento $m-1$. Usando indução,$m-1\leq n-1$, então $m\leq n$.
Prova para o caso comutativo
E se $A$ é comutativo, então $A\simeq A_1\times\ldots\times A_l$ com anéis locais $(A_i,\mathfrak m_i)$ com $\mathfrak m_i^n=(0)$ (o menor expoente pode realmente ser $n_i\leq n$ para alguns dos $\mathfrak m_i$) e a cadeia dos principais ideais em $A$ dá cadeias correspondentes de ideais principais em cada $A_i$ (multiplique com o $i$-ésimo idempotente $e_i$) As correntes no$A_i$ tem no máximo $n$ (até $n_i$) inclusões adequadas cada, pelo $l=1$caso. Portanto, a cadeia original em$A$ pode ter no máximo $ln$ (até $n_1+\ldots+n_l$) inclusões adequadas.
O que tentei no caso não comutativo
Relação com anéis perfeitos
E se $\mathfrak r$ é nilpotente, é especialmente $T$-nilpotente (em ambos os lados), então cada anel semiprimário é esquerdo (e direito) perfeito. Esses anéis têm DCC nos ideais principais da direita (esquerda) (o inverso também é válido). Existe uma prova "construtiva direta" para essa implicação? Nesse caso, pode conter argumentos úteis para o problema acima, mas eu só conheço provas "indiretas".
Primeira abordagem - Adapte do caso comutativo
Eu tentei indução em $l$. Para$l=1$Veja acima. Agora deixe$l>1$. Como$A$ é semiperfeito, podemos escrever $A=Ae_1\oplus\ldots\oplus Ae_l$ com pares ortogonais, idempotentes locais $e_i$ com $e_1+\ldots+e_l=1$. E se$\mathfrak a_0\subseteq\ldots\subseteq\mathfrak a_m$ é uma cadeia dos principais ideais de esquerda $\mathfrak a_j=Aa_j$ dentro $A$, então, para cada $i$, obtemos uma corrente $(Aa_je_i)_j$ de submódulos cíclicos de $Ae_i$. Agora, as 2 etapas a seguir não funcionam :
- $M_i:=Ae_i$ é a (cíclico) $A$-módulo e ${M_i}/{\mathfrak rM_i}$ tem comprimento $l_i=1$. Eu gostaria de deduzir (por exemplo, pela afirmação mais forte ($\star$) abaixo) que a corrente $(Aa_je_i)_j$ de submódulos cíclicos tem no máximo $nl_i=n$ inclusões adequadas.
- Se nossa corrente original tiver pelo menos $ln+1$ inclusões e se 1. for verdadeiro, há pelo menos um $j$ com $\mathfrak a_je_i=\mathfrak a_{j+1}e_i$ para todos $i$. Então$$ \mathfrak a_{j+1}\subseteq\mathfrak a_{j+1}e_1+\ldots+\mathfrak a_{j+1}e_r=\mathfrak a_je_1+\ldots+\mathfrak a_je_r, $$ e estaríamos prontos se isso estivesse contido em $\mathfrak a_j$. Mas isso não precisa ser necessariamente verdade, pois$\mathfrak a_j$é apenas um ideal de esquerda .
O resultado mais geral mencionado em 1. é:
($\star$) E se $M$ é um cíclico $A$-módulo com $\ell({M}/{\mathfrak rM})=1$ (ou mesmo $=k$), então cada cadeia de submódulos cíclicos tem no máximo $n$ (ou $kn$) inclusões adequadas.
Não tenho certeza, se isso é verdade em geral. No caso comutativo, pode-se novamente reduzir para$A$ sendo local, então $l=1$. Então$k=1$ e a corrente pode ser levantada para $A$, o que se reduz ao caso $l=1$ do começo.
Segunda abordagem - Módulo de redução $\mathrm{Jac}(A)$
Podemos reduzir o módulo $\mathfrak r$, ou seja, passe para ${A}/{\mathfrak r}$, ou seja, olhe para $\mathfrak a_j+\mathfrak r$. Há no máximo$n$inclusões adequadas lá. Se por acaso,$$ \mathfrak r=\mathfrak a_0+\mathfrak r=\ldots=\mathfrak a_{m-l}+\mathfrak r\subsetneq\ldots\subsetneq\mathfrak a_m+\mathfrak r=A, $$ então $\mathfrak a_{m-l}$ estaria contido em $\mathfrak r$, então é um ${A}/{\mathfrak r^{n-1}}$-módulo. Levantando a cadeia de comprimento$m-l$ para ${A}/{\mathfrak r^{n-1}}$ (como na prova do caso $l=1$), nós obteríamos $m-l\leq (n-1)l$ por indução e ser feito.
No entanto, a distribuição do $l$ inclusões adequadas após a redução para ${A}/{\mathfrak r}$pode ser muito arbitrário. Tentei coisas diferentes, mas não fui capaz de "conectar" as inclusões ou manipular a corrente (mantendo o comprimento e a adequação) para deslocar as inclusões. De alguma forma, o problema é que a corrente pode ficar muito "enviesada" para a corrente$(0)=\mathfrak r^n\subseteq\ldots\subseteq\mathfrak r\subseteq A$.
Pode-se também tentar reduzir o módulo $\mathfrak r^{n-1}$ e uso indução, mas enfrentei problemas semelhantes lá (nenhum controle de onde ocorrem as inclusões adequadas).
Para ter uma ideia de como proceder, considerei o próximo caso mais simples $n=l=2$ e tentou deduzir uma contradição de uma cadeia adequada $(0)=\mathfrak a_0\subsetneq\ldots\subsetneq\mathfrak a_5=A$. Mas mesmo lá eu não pude resolver todos os casos de distribuições das inclusões adequadas após a redução do mod$\mathfrak r$.
Terceira abordagem - Cortar fatores da direita
Cada cadeia própria ("máxima") dos principais ideais de esquerda tem a forma $(0)=Aa_0\cdots a_{m-1}\subsetneq Aa_1\cdots a_{m-1}\subsetneq\ldots\subsetneq Aa_{m-1}\subsetneq A$. Agora, se tivermos módulo de igualdades$\mathfrak r$ de $i$ para $j>i$, ie $$ Aa_i\cdots a_{m-1}+\mathfrak r=\ldots=Aa_j\cdots a_{m-1}+\mathfrak r, $$ pode-se dar uma olhada na corrente $$ Aa_i\cdots a_{j-1}\subsetneq\ldots\subsetneq Aa_{j-1}\subsetneq A.\qquad (\star\star) $$Isso ainda é adequado. Se for longo o suficiente, ele retornará igualdades após a redução do módulo$\mathfrak r$. Rowen usa exatamente este método em sua prova (mencionado acima) e apenas escolhe o limite grande o suficiente para que, após fazer$n$ etapas de recursão, ele obtém uma cadeia $$ Aa_i\cdots a_{i+n}\subsetneq\ldots\subsetneq Aa_{i+n} $$ com $Aa_ja_{j+1}+\mathfrak r=Aa_{j+1}+\mathfrak r$ para $i\leq j<i+n$. Então, por outro argumento,$Aa_{i+1}\cdots a_{i+n}\subseteq\mathfrak r^n+Aa_i\cdots a_{i+n}=Aa_i\cdots a_{i+n}$, uma contradição.
No entanto, como dito acima, isso só funciona com o limite muito grande. Não sei se partes dos argumentos podem ajudar a obter uma prova para o limite de Björk. Tenho a sensação de que algum argumento de transição como ($\star\star$) deve ser usado e pode até ser crucial.
Casos especiais
Pode ser útil lidar com casos especiais para obter idéias de prova ou mesmo dicas para contra-exemplos.
Produto de anéis
E se $A\simeq A_1\times\ldots\times A_r$, é fácil reduzir de $A$ para todos $A_i$adotando a prova do caso comutativo. No entanto, em geral$A$ não precisa ter uma decomposição do produto - em particular a decomposição de Artin-Wedderburn $A/{\mathfrak r}\simeq M_{l_1}(K_1)\times\ldots\times M_{l_r}(K_r)$ não precisa levantar para $A$. Por exemplo$A=\begin{pmatrix} \mathbb{Q} & \mathbb{Q}^{(\mathbb{N})} \\ 0 & \mathbb{Q} \end{pmatrix}$ é um anel semiprimário, não Artiniano, que não é um anel produto (ele não contém um par de idempotentes centrais ortogonais não triviais).
Caso de redução simples - anel de matriz sobre um anel semiprimário local
E se $A/{\mathfrak r}\simeq M_l(K)$, então $A\simeq M_l(D)$ para um anel local $(D,\mathfrak m)$ com ${D}/{\mathfrak m}\simeq K$ (ver [2 (Rowen), Proposição 2.7.21]), e cadeias (próprias) dos principais ideais de direito em $A$ correspondem a cadeias (adequadas) de $D$-submódulos de $D^r$ com no máximo $r$geradores cada. Além disso, também não avancei neste caso especial.
Citações:
[1] Björk: "Condições da cadeia noetheriana e artística de anéis associativos." Arco. Matemática. 24 (1973), 366–378.
doi: 10.1007 / bf01228225
[2] LH Rowen: "Teoria do Anel. Volume 1." Academic Press, San Diego (1988).
https://www.elsevier.com/books/ring-theory-v1/rowen/978-0-12-599841-3
Respostas
Aqui está um contra-exemplo artístico.
Vou descrever um anel $A$ explicitamente, mas na linguagem dos quivers com relações, se $Q$ é uma aljava com dois vértices, um loop em cada vértice e uma flecha do vértice $1$ ao vértice $2$, então $A$ é a álgebra de caminho de $Q$ sujeito a relações que tornam todos os caminhos de comprimento dois iguais a zero.
Deixei $A$ seja a álgebra sobre um campo $k$ com base $\{e_{1},e_{2},a,b,c\}$, com todos os produtos de dois elementos básicos iguais a zero, exceto: $$e_{1}^{2}=e_{1},\quad e_{2}^{2}=e_{2},\quad e_{1}a=a=ae_{1},\quad e_{1}b=b=be_{2},\quad e_{2}c=c=ce_{2}.$$
Então
- $A$ é uma álgebra associativa pentadimensional com unidade $1=e_{1}+e_{2}$.
- O radical Jacobson $\mathfrak{r}$ é medido por $\{a,b,c\}$, e $\mathfrak{r}^{2}=0$. então, na notação da questão,$n=2$.
- $A/\mathfrak{r}\cong k\times k$, então, na notação da pergunta, $l=2$.
- então $ln=4$.
Mas há uma corrente descendente adequada dos principais ideais de esquerda $$A > A(a+e_{2}) > Ae_{2} > A(b+c) > Ac > 0$$ com bases $$\{e_{1},e_{2},a,b,c\}\supset\{e_{2},a,b,c\}\supset\{e_{2},b,c\} \supset\{b,c\}\supset\{c\}\supset\emptyset.$$