As propriedades da função convexa no intervalo de unidade fechada $[0,1]$.

Question

Considere uma função contínua e convexa $F(x):[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}$. Estou me perguntando se

1. $F(x)$ é continuamente diferenciável em $[0,1]$

2. $F(x)$ é de variação limitada em $[0,1]$

3. $F(x)$ é absolutamente contínuo em $[0,1]$.

A segunda está correta, devido a este post provar que uma função convexa é de variação limitada .

No entanto, os dois restantes tornaram-se misteriosos para mim. O capítulo 6 de Royden responde a eles se tivermos um intervalo aberto.

Corolário 17: Let $\varphi$ ser uma função convexa em $(a,b)$. Então$\varphi$ é Lipschitz e, portanto, absolutamente contínuo em cada subintervalo fechado e limitado $[c,d]$ e $(a,b)$

Teorema 18: Let $\varphi$ ser uma função convexa em $(a,b)$. Então$\varphi$ é diferenciável, exceto em um número contável de pontos.

Pelo Teorema 18, é difícil acreditar que $F(x)$ se tornará diferenciável em $[0,1]$. Mas não consigo encontrar um contra-exemplo. Ou seja, uma função convexa que é contínua em$[0,1]$ mas não é diferenciável.

O Corolário 17 nos dá um resultado muito bom, mas parece que não se aplica ao intervalo fechado. É possível dizer que se tivermos$F(x)$ em $[0,1]$ é convexo, então será convexo em $(-\epsilon, 1+\epsilon)$? e então podemos usar o Corolário 17 para concluir que é absolutamente contínuo em$[0,1]\subset (-\epsilon, 1+\epsilon)$.

Obrigado!

Answer 1

Dados números reais $a<b$, vamos mostrar que uma função contínua e convexa $F(x):[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$é absolutamente contínuo. Desde a$F$ é uma função contínua em um conjunto compacto $[a,b]$ atinge seu mínimo em algum ponto $c\in [a,b]$. Convexidade de$F$ implica que $F$ não está aumentando em $[a,c]$ e não decrescente em $[c,b]$. Portanto, é suficiente considerar um caso quando$F$ é monotônico em $[a,b]$.

Deixei $\varepsilon>0$seja qualquer número. Desde a função$F$ é contínuo em $a$ e $b$, existe $0<\delta'<|b-a|$ tal que se $x,y\in [a,b]$ e $|x-a|\le\delta’$, $|y-b|\le\delta’$ então $|F(a)-F(x)|\le\varepsilon/3$ e $|F(b)-F(y)|\le\varepsilon/3$. A monotonicidade de$F$ implica que para qualquer família $(x_n,y_n)$ de intervalos abertos separados contidos em $[a,a+\delta’]\cup [b-\delta’,b]$ temos $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le 2\varepsilon/3$.

Pelo Corolário 17, $F$ é absolutamente contínuo em $(a+\delta’, b-\delta’)$, então existe um número real $\delta\le \delta’$ de modo que para qualquer família finita $(x_n,y_n)$ de intervalos abertos separados contidos em $(a+\delta’, b-\delta’)$ do comprimento total no máximo $\delta$ temos $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le \varepsilon/3$.

O acima indica facilmente que qualquer família finita $(x_n,y_n)$ de intervalos abertos separados contidos em $[a, b]$ do comprimento total no máximo $\delta$ temos $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le \varepsilon$.