Aut (G) → Out (G) sempre se divide para um grupo de Lie G compacto e conectado?

Question

O grupo de automorfismo externo de um grupo topológico $G$ é construído pela curta sequência exata $$ 1\longrightarrow \operatorname{Inn}(G) \longrightarrow \operatorname{Aut}(G) \longrightarrow \operatorname{Out}(G) \longrightarrow 1. $$Esta sequência nem sempre se divide, consulte Non-split Aut (G)$\to$Fora (G)? , por exemplo para o grupo discreto$G = A_6$.

Estou interessado no caso onde $G$é um grupo de Lie compacto e conectado. A sequência sempre se divide neste caso? (Se$G$ tem uma álgebra de Lie simples $\mathfrak{g}$então eu acredito que a resposta é sim .)

Answer 1

Sim, $\operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G)$sempre se divide. A prova é a mesma que na minha resposta à sua pergunta Classificação de grupos de Lie compactos (não necessariamente conectados) :$\operatorname{Aut}(G)$ como uma extensão de $\operatorname{Inn}(G) = G/\operatorname Z(G)$ por um grupo discreto $\operatorname{Out}(G)$, e levante $\operatorname{Out}(G)$ para $\operatorname{Aut}(G)$como os automorfismos que preservam um pinning no sentido daquela resposta . (Esses são frequentemente chamados de "automorfismos de diagrama".) Nessa outra questão, não obtivemos uma seção honesta do grupo de componentes dentro do grupo de Lie porque você não presumiu que o componente de identidade era descentralizado, mas desde o grupo adjacente$\operatorname{Inn}(G)$ não tem centro, está tudo bem aqui.