Avaliando o limite do quociente de duas somas infinitas

Question

Como posso avaliar esse limite?

$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac{\sum_{k=1}^n \frac 1k}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2k-1} }}_{=:a_n}$$

Por WolframAlpha, o limite tem que ser 2, mas como posso mostrar isso? Eu vejo que é monótono aumentando então quando eu pude mostrar$\sup_{n \in \mathbb N} a_n = 2$, isso seria feito. Mas estou um pouco preso ...

Answer 1

observe que o denominador pode ser reescrito como $$\sum_{k=1}^{2n+1} \frac 1k - \frac 12 \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$$ Torna-se muito fácil depois disso: divida o numerador e o denominador por $\sum_{k=1}^n \frac 1k$. Isso dá a você o limite$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac 12 + \frac{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k}{\sum_{k=1}^n \frac 1k}}= 2$$

Answer 2

A regra de L'Hopital tem uma versão discreta, sob certas condições; geralmente é conhecido como teorema de Stolz-Cesaro . Aqui, tratamos o somatório como integração (e, inversamente, considerando as diferenças como diferenciação). A declaração é geralmente algo assim: se a sequência$\{ b_n \}$ é positivo e $\sum b_n = \infty$ (ou seja, divergente), então para qualquer sequência $\{ a_n \}$ de reais tais que $\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = L$, temos

$$ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sum_{j \le n} a_j}{\sum_{j\le n} b_j} = L. $$

Uma conseqüência muito legal disso é o teste de comparação de limite.

Para o exemplo dado, pegue $a_n = 1/n$ e $b_n = 1/(2(n+1) - 1) = 1/(2n + 1)$ para obter $2$ como o limite.

Answer 3

Explicação intuitiva:

A proporção é

$$2\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1{k-\frac12}}$$ e para crescer $k$, O termo $\frac12$torna-se cada vez menos significativo. Ao mesmo tempo, as duas séries divergem, de modo que os termos iniciais não importam.

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Por um argumento mais sério, você poderia colocar as somas entre parênteses por integração e obter os limites do formulário $\log n+c$. Então, apertando

$$\frac{\log n+c_1}{\frac12\log n+c_2}<2<\frac{\log n+c_3}{\frac12\log n+c_4}.$$

Answer 4

Comparando termo por termo, temos $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\le\sum_{k=1}^n\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-\frac1{n+\frac12} \end{align} $$ Similarmente, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-2 \end{align} $$ Portanto, $$ 2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-\frac1{n+\frac12} $$ e portanto, $$ 2-\frac2{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le2-\frac1{\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}} $$ Agora aplique o Teorema do Aperto.