Avalie o limite $\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $

Question

Como você avalia esse limite de sequência usando o teorema de compressão / sanduíche? $$\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $$

Eu realmente não sei por onde começar. Eu tentei usar o fato de que$\lim_{n \to \infty} \left(3^n\right)^{\frac1n} = 3$ (que é a resposta correta) mas não sei para onde ir a partir daí.

Obrigado!

Answer 1

Nós temos isso

$$3=(3^n)^{1/n}\le (3^n+1)^{1/n}\le (3^n+3^n)^{1/n}=3\cdot2^\frac1n$$

em seguida, conclua pelo teorema de compressão.

Answer 2

Você pode usar $3=(3^n)^{1/n} \leq(3^n + 1)^{1/n} \leq (3^n+3^n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot 3$

Answer 3

Com logaritmo: reescrever a expressão como $$ e^{\frac{1}{n}(\log 3^n + \log (1+\frac{1}{3^n})} $$ O primeiro termo é $3$. O segundo tem limites fáceis:$$ 0<\log (1+\frac{1}{3^n})<\log 2 $$ e, portanto, $$ 1<e^{\frac{1}{n}\log (1+\frac{1}{3^n})}<e^{\frac{\log 2}{n}} \to_n 1 $$

Answer 4

Uma maneira ligeiramente diferente é tomar $3^n$ fora de $(3^n+1)^{1/n}$, isso é $$ (3^n+1)^{1/n}=3(1+3^{-n})^{1/n} $$ Agora observe que $1\leqslant 1+3^{-n}\leqslant 2$ para cada $n\in \mathbb N $, portanto, tomando limites na desigualdade a que chegamos $$ 1\leqslant \lim_{n\to\infty}(1+3^{-n})^{1/n}\leqslant \lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1 $$ e entao $$ \lim_{n\to\infty}(3^n+1)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}3(1+3^{-n})^{1/n}=3 $$

Answer 5

Considerar $y = (3^n + 1)^\frac{1}{n}$ agora afeta o logaritmo para ambos os lados:$$\ln{y} = \frac{\ln{(3^n + 1)}}{n}$$ obviamente se $n$ vai ao infinito podemos omitir 1 dentro do logaritmo, então obtemos facilmente: $\ln{y} = \ln 3$ quando $n$vai para o infinito. então a resposta é:$$y = 3$$

Answer 6

Onde $n$ é suficientemente grande $3^n$ é muito maior que $1$, o que pode ser negligenciado (podemos notar que $100000000000000000000$ e $100000000000000000001$ são "quase" iguais).

então $3^n+1 \sim_{n \to \infty} 3^n$ pelo fato de que $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n+1}{3^n}=1$ rapidamente e o resto pode ser feito facilmente.

Answer 7

$$ \displaystyle\left(3^{n} + 1\right)^{1/n} = 3\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{1/n} = 3\left[\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{3^{\large n}}\right]^{1/\left(3^{\large n}n\right)} \,\,\,\stackrel{\mathrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbox[#ffd,10px,border:1px groove navy]{\large 3} $$