Bi-aniquilador de um subespaço do dual de um espaço vetorial de dimensão infinita

Question

Deixar$V$ser um espaço vetorial de dimensão infinita e$V^*$é dual.
Para um subespaço linear$W\subset V$definir$W^ \circ\subset V^*$como o subespaço de formas lineares em$V$desaparecendo em$W$.
Duplamente, para$\Gamma\subset V^*$definir$\Gamma^\diamond \subset V$como o conjunto de vetores$v\in V$de tal modo que$\gamma(v)=0$para todas as formas lineares$\gamma\in \Gamma$.
É um pouco surpreendente, mas não muito difícil, mostrar que temos para todos os subespaços$W\subset V$a igualdade$(W^\circ) ^\diamond=W$.
Mas é verdade que para todos$\Gamma\subset V^*$temos$(\Gamma^\diamond)^\circ=\Gamma$?
E existe uma referência (artigo, livro, notas de aula,...) onde este problema é mencionado?

Answer 1

Não,$(\Gamma^\diamond)^\circ$nem sempre é igual$\Gamma$. Deixar$\mathcal B$ser uma base para$V$, e deixar$\Gamma$ser a extensão do conjunto 'dual'$\{e_b \mathrel: b \in \mathcal B\}$, assim$e_b(c)$é o colchete de Iverson $[b = c]$para todos$b, c \in \mathcal B$. Então$\Gamma^\diamond$é$0$, assim$(\Gamma^\diamond)^\circ$é tudo de$V^*$; mas$\Gamma$em si não contém, por exemplo, o elemento$\sum_{b \in \mathcal B} e_b$do$V^*$.

Answer 2

A igualdade é falsa em geral.
Aqui está um contra-exemplo: fixe uma base$v_i, i\in I$do$V$e considere o conjunto de formas lineares coordenadas$v^*_i, i\in I$.
Essas formas são linearmente independentes, mas nunca formam uma base, pois$V$é de dimensão infinita.
Portanto, preencha esses formulários com base$(v^*_j), j\in J$com$J\setminus I\neq\emptyset$.
Escolher$l\in J\setminus I$e colocar$J'=J\setminus \{l\}$
Se você definir$\Gamma \subset V^*$como o espaço vetorial gerado pelo$v_j^*, j\in J'$, então$\Gamma^\diamond =0$(pois já o subespaço de$V^*$gerado pelo$v_i^*, i\in I$matar todos os vetores em$V$) para que$\Gamma\subsetneq (\Gamma^\diamond)^\circ=\{0\}^\circ=V^*$fornecendo o contra-exemplo necessário.