Classificação das funções holomórficas no meio plano direito com certas condições

Aug 17 2020

O seguinte problema vem de um antigo exame preliminar de análise complexa:

Determine todas as funções analíticas $f: H \rightarrow \mathbb{C}$ no meio plano $H : = \{ z\in \mathbb{C} : \Re(z) > 0 \}$ que satisfaça $f(\sqrt{n}) = n$ e $|f^{(n)}(1)| \leq 3$ para todos os inteiros positivos $n$.

Claramente $f(z) = z^2$satisfaz isso, e desejo mostrar que este é o único exemplo. Observe que$f(z) = z^2 + \epsilon \sin(\pi z^2)$ falhar em satisfazer o limite derivado para qualquer $\epsilon > 0$. Além disso, o limite derivado implica que qualquer$f$ é analítico e subexponencial com ordem 1. Posso aplicar o teorema de Carlson para mostrar que $h(z): =f(z) - z^2$ é exatamente zero, mas parece um martelo muito pesado para usar em um problema preliminar.

Qualquer orientação sobre uma prova mais simples seria muito apreciada!

Respostas

1 Conrad Aug 17 2020 at 20:34

Deixei $g(z)=f(z+1)-(z+1)^2, g(0)=0$; Desde a$|g^{(n)}(0)| \le 3, n \ge 3$ nós entendemos isso $g$ originalmente definido em $\Re z >-1$ se estende a uma função inteira que satisfaz $|g(z)| \le 3e^{|z|}+|z+1|^2, g(\sqrt n-1)=0, n \ge 1$.

Presumir $g$ diferente de zero e $k \ge 1$ a ordem do zero de $g$ em $0$. Então se$M_g(R)= \max_{|z|=R}|g(z)| \le 4e^R, R \ge R_0$ o número $N(R) \ge [R^2]$ de zeros de $g$ com $|z|\le R$ satisfaz (pelo teorema de Jensen):

$\int_0^R \frac{N(t)-k}{t}dt+k \log R+\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log |g(Re^{it})|dt$

então, por majorizações fáceis usando $N(t)-k \ge [t^2]-1 \ge (t/2)^2, t \ge 10$, obtém-se:

$R^2/8-M \le LHS \le \log 4 + R, R \ge R_0$ por alguma constante $M$ que incorpora a integral no LHS de $0$ dizer $10$ e $\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|$, então temos uma contradição para grandes $R$