Como as suposições de exogeneidade padrão e independentes dos conceitos de resultados potenciais estão vinculadas?

Question

Se tivéssemos um modelo:

$y=x\beta +\eta$

e exogeneidade assumida, então $E[\eta|x]$= 0, é o fato de que x ou a intensidade do tratamento agora não está correlacionada com $\eta$ equivalente a dizer que x é 'independente de resultados potenciais?'

Answer 1

Sim, se chamarmos o modelo

$$Y = X\beta + \eta$$

"estrutural" ou "causal", podemos usá-lo para definir resultados potenciais como

$$Y(x) = x\beta + \eta.$$

(Estou usando letras maiúsculas $Y$ e $X$ para variáveis ​​aleatórias, e minúsculas $x$ para uma realização ou constante fixa).

Então assumindo $E[\eta|X] = 0$, segue que

$$E[Y(x)|X] = x\beta + E[\eta|X] = x\beta,$$

que não depende de $X$, então significa ignorabilidade $E[Y(x)|X] = E[Y(x)]$ detém.

Esta "definição estrutural de contrafactuais" foi proposta por Judea Pearl, veja por exemplo seu livro "Causality", ou seu livro com Jewell e Glymour, "Causality: A Primer".