Como calcular o produto de xícara de limites derivados / cohomologia pré-capa

Question

Eu tenho uma categoria finita $\mathcal{C}$, junto com um functor $F \colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{GradedCommRings}$. Se$F_j$ é $j$peça graduada de $F$, então eu escrevo $H^i(\mathcal{C},F_j)$ para o $i$-ésimo limite inverso derivado do diagrama $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$de grupos abelianos. Equivalentemente, é o$i$-º feixe cohomologia do feixe $F_j$, onde eu considero $\mathcal{C}$ como o site com topologia Grothendieck trivial.

Eu calculei os vários $H^i(\mathcal{C},F_j)$. Montando-os, deve haver uma estrutura de produto do copo$H^i(\mathcal{C},F_j) \otimes H^{i'}(\mathcal{C},F_{j'}) \to H^{i+i'}(\mathcal{C},F_{j + j'})$. Eu gostaria de calcular esta estrutura de produto.

O único método que conheço é por meio da cohomologia de feixe, envolvendo resoluções explícitas, produtos tensores e complexos totais (consulte [1]). Infelizmente, não tenho uma resolução explícita de$F$ ou $F \otimes F$: parece muito complicado de fazer à mão, especialmente porque meu $F(c)$são tipicamente gerados infinitamente. (Em meu cálculo de$H^i(\mathcal{C},F_j)$ Eu contornei isso usando sequências espectrais, mas elas obscurecem a estrutura do produto.)

Sou levado às seguintes questões:

• Alguém conhece um método mais eficiente para calcular produtos de xícara de cohomologia pré-capa / limites derivados?
• Se não, há algum software de computador que possa ser capaz de assumir algumas das tarefas descritas acima?

[1]: RD Swan. Produtos de copa em cohomologia de feixes, injetivos puros e um substituto para resoluções projetivas.

Answer 1

Produtos de xícara em cohomologia de feixe (e pré-capa) são geralmente fáceis de calcular resolvendo a origem (na estrutura do modelo projetivo, digamos), não o destino. Para obter um exemplo de como resolver a fonte dessa maneira, consulte o emparelhamento de Yoneda, hipercohomologia e produto de xícara

No caso em consideração, pode-se equipar a categoria de pré-escalonamentos de complexos de cadeia em C com uma estrutura de modelo projetiva. O último tem um functor de substituição de co-fibrante explícito, que pode ser usado para escrever uma resolução projetiva explícita. O functor de substituição do cofibrante é precisamente a construção de barra clássica aplicada à adjunção entre pré-camadas de complexos de cadeia em complexos de cadeia indexados em C e Ob (C).