Como derivar a fórmula do termo em $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}{(2n+1)!!} $
Me deparei com o seguinte problema de exame
Teste a convergência da série:
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}{(2n+1)!!} $$
Então eu descobri que cada segundo fator do numerador será cancelado com todos os fatores do denominador e isso dará (na verdade, não é verdade) *
$$\sum_{n=1}^\infty4\cdot10\cdot16\cdot22...$$
Neste caso particular, pode já ser óbvio que as séries divergem, mas eu queria derivar uma fórmula exata para que eu possa provar a convergência ou divergência com os critérios / teste adequados. E depois de passar 10 minutos tentando descobrir isso, eu vim com a seguinte fórmula$\ 2(2+3(n+1))=6n-2$. O que acaba sendo muito fácil de descobrir neste caso específico, se eu perceber que esses números são múltiplos de 6 - 2.
Minha pergunta é: existe uma maneira conhecida de derivar essas fórmulas de somas infinitas e produtos infinitos? Ou o processo de derivação se torna mais fácil apenas com o tempo e a prática?
Eu sou muito novo em todas essas coisas, desculpe se não estou entendendo o óbvio com a pergunta.
* Conforme apontado por @ alex.jordan nos comentários, cometi um erro aí e o cancelamento não acontecerá da forma que descrevi. No entanto, isso não afeta a essência da questão, portanto, vou deixá-lo sem edição por enquanto.
Respostas
Transformando uma sequência de comentários em uma resposta:
Sem encontrar explicitamente uma fórmula fechada para os termos, você ainda pode aplicar o Teste de Razão. Todos os termos são positivos, portanto, omitirei o uso de valor absoluto que está na forma mais geral do Teste de Razão.
$$ \begin{align} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=\frac{\frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3(n+1)+1)}{(2(n+1)+1)!!}}{\frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}{(2n+1)!!}}\\ &=\frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3(n+1)+1)}{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}\cdot\frac{(2n+1)!!}{(2(n+1)+1)!!}\\ &=\frac{\require{cancel}\cancel{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}\cdot(3(n+1)+1)}{\cancel{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}}\cdot\frac{(2n+1)!!}{(2n+3)!!}\\ &=(3n+4)\cdot\frac{(2n+1)!!}{(2n+3)\cdot(2n+1)!!}\\ &=\frac{3n+4}{2n+3} \end{align} $$
Esta expressão vai para $\frac{3}{2}>1$ como $n\to\infty$, portanto, pelo Teste de Razão, a série original diverge.
Considerar $$a_n=\frac{\prod_{k=0}^n (3k+1) } {(2n+1)!! }\qquad \text{and} \qquad S_p=\sum_{n=1}^p a_n$$ O primeiro $S_p$são fáceis de calcular; eles geram a sequência$$\left\{\frac{4}{3},\frac{16}{5},\frac{88}{15},\frac{1312}{135},\frac{2528}{165},\frac {34912}{1485},\frac{31648}{891},\frac{89504}{1683},\frac{1199776}{15147},\frac{5345248}{45441}\right\}$$ que é "quase" exponencial.
Editar
Mais cedo ou mais tarde, você aprenderá que $$\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n=\, _2F_1\left(1,\frac{4}{3};\frac{3}{2};\frac{3 }{2}x\right)$$ que é a função hipergeométrica gaussiana que tende a $\infty$ quando $x\to \frac 23$ de baixo.
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{{1\times 4 \times \cdots \times \pars{3n + 1} \over \pars{2n + 1}!!}} = {\prod_{k = 0}^{n}\pars{3k + 1} \over \prod_{k = 0}^{n}\pars{2k + 1}} = {3^{n + 1}\prod_{k = 0}^{n}\pars{k + 1/3} \over 2^{n + 1}\prod_{k = 0}^{n}\pars{k + 1/2}} \\[5mm] = &\ \pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\pars{1/3}^{\overline{n + 1}} \over \pars{1/2}^{\overline{n + 1}}} = \pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\Gamma\pars{n + 4/3}/\Gamma\pars{1/3} \over \Gamma\pars{n + 3/2}/\Gamma\pars{1/2}} \\[5mm] = &\ {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\pars{n + 1/3}! \over \pars{n + 1/2}!} \\[5mm] \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, & {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\root{2\pi}\pars{n + 1/3}^{\ n + 5/6}\expo{-n - 1/3} \over \root{2\pi}\pars{n + 1/2}^{\ n + 1}\expo{-n - 1/2}} \\[5mm] \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, &\ {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {n^{n + 5/6}\,\bracks{1 + \pars{1/3}/n}^{\ n}\,\expo{-n - 1/3} \over n^{n + 1}\,\bracks{1 + \pars{1/2}/n}^{\ n}\,\expo{-n - 1/2}} \\[5mm] \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, & {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\, {\pars{3/2}^{n + 1} \over n^{1/6}} \,\,\,\stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbx{\large \infty} \\ & \end{align}