Como encontrar o número de funções polinomiais distintas de $\mathbb{Z}_2$ para $\mathbb{Z}_2$? [duplicado]

Question

Para qualquer número inteiro positivo $n$, quantos polinômios existem em grau $n$ sobre $\mathbb{Z}_2$? Quantos polinômios distintos funcionam de$\mathbb{Z}_2$ para $\mathbb{Z}_2$?

Tentativa: a primeira parte está clara para mim, pois há $2$ escolhas para cada coeficiente e há $n$ coeficiente para que haja $2^n$tais polinômios. Estou tendo problemas para entender a segunda parte em que preciso encontrar funções polinomiais distintas.

Se eu assumir $p(x)$ e $p'(x)$ são duas funções polinomiais iguais sobre $\mathbb{Z}_2$ de tal modo que $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ e $p'(x)=a'_nx^n+\cdots+a'_0$, então $p'(x)=p(x)$ para $x=0,1$. então$a'_0=a_0$. E uma vez que o grau desses polinômios são$n$ então $a_n=a'_n=1$. Então, para encontrar funções polinomiais distintas, temos que considerar quando$p(x)$ não pode ser igual a $p'(x)$ para cada valor de $x\in\{0,1\}$. A partir daqui, não posso prosseguir. Eu estava procurando por soluções. Em todos os lugares, vejo que eles começaram a discussão com o fato de que há apenas$4$tais polinômios e então eles dão os exemplos de tais polinômios. Preciso de ajuda para entender este problema. Obrigado

Answer 1

Existem apenas 4 funções distintas $f: \Bbb Z_2 \to \Bbb Z_2$. Isso ocorre porque a cardinalidade do conjunto de funções$A \to B$ é $$|B^A|=|B|^{|A|}$$ sempre que $A,B$ são conjuntos finitos.

Acontece que são funções polinomiais. Na verdade eles são$$f_1(x)=0$$ $$f_2(x)=1$$ $$f_3(x)=x$$ $$f_4(x)=1-x$$ Então, nós encontramos todos eles.

Answer 2

Sobre $\Bbb{Z}_2$, o polinômio $x(x+1) = x^2 + x$ é identicamente $0$, o que significa que posso substituir $x^2$ com $x$em qualquer expressão polinomial e obter o mesmo valor. Usando isso repetidamente, durante$\Bbb{Z}_2$, o polinômio $$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n$$ sempre dá o mesmo valor que o polinômio $$a_0 + (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n)x,$$ e então há apenas $4$ polinômios distinguíveis sobre $\Bbb{Z}_2$, dependendo do clima $a_0 = 0$ ou $1$, e se $a_1 + a_2 + a_3 + ... +a_n = 0$ ou $1$.

Answer 3

A resposta à sua primeira pergunta deve ser $2^{n-1}$ ao invés de $2^{n}$ uma vez que o coeficiente de $x^n$ é sempre $1$.

Para a segunda parte, observe que o conjunto de todas as funções polinomiais é o conjunto de todas as funções no seu caso.

EDIT: A apontou no comentário que a primeira parte desta resposta está incorreta.