Como escolher a medida do martingale em mercados incompletos
Ei, eu sei que quando o mercado está incompleto, então temos que escolher uma medida de martingale equivalente (eu ouvi sobre a medida de martingale da Transformada de Escher, medida de martingale de correção média, medida de martingale de entropia mínima). Mas em Bjork "Teoria da Arbitragem em Tempo Contínuo" está escrito:
Ao lidar com a precificação de derivativos em um mercado incompleto, temos, portanto, de fixar uma medida de martingale específica Q ou, de forma equivalente, um λ, e surge a questão de como isso deve ser feito.
Pergunta: Quem escolhe a medida do martingale?
Resposta: O mercado!
E eu realmente não entendo. Portanto, não temos que procurar uma medida equivalente de Martingale, mas obtê-la calibrando o modelo (sob a medida física) para os preços das opções atuais?
Respostas
A propriedade de incompletude diz que existem infinitas medidas de martingale produzindo um intervalo de preços livres de arbitragem. Na realidade, é necessário cobrar um preço razoável para cobertura parcial (não para cobertura total) dos riscos e assumir algum risco residual, o que implica selecionar uma medida de martingale equivalente (EMM) com base em algum conceito de 'otimalidade'.
Incluirei a visualização Cont e Tankov de 'Modelagem Financeira com Processos de Levantamento' e 'Modelagem Financeira com Processos de Jump' .
(Capítulo 10 na segunda referência) "Em um mercado completo, só existe uma forma livre de arbitragem para avaliar uma opção: o valor é definido como o custo de replicá-la. Em mercados reais, bem como nos modelos considerados em neste livro, coberturas perfeitas não existem e opções não são redundantes: a noção de preços pela replicação desmorona, não porque a negociação de tempo contínuo é impossível na prática, mas porque há riscos que não se pode proteger até mesmo por negociação em tempo contínuo. Assim, somos forçado a reconsiderar o hedging no sentido mais realista de aproximar um payoff alvo com uma estratégia de negociação: é preciso reconhecer que o hedging de opção é um assunto arriscado, especificar uma maneira de medir esse risco e, em seguida, tentar minimizá-lo. Diferentes maneiras de medir o risco assim, levam a diferentes abordagens de hedge: superhedging, maximização da utilidade e hedge de média-variância estão entre as abordagens discutidas neste capítulo. Cada uma dessas estratégias de hedge tem um custo, que pode ser calculado em alguns casos. O valor da opção consistirá então em duas partes: o custo da estratégia de hedge mais um prêmio de risco, exigido pelo vendedor da opção para cobrir seu risco residual (não passível de hedge). Trataremos aqui do primeiro componente estudando vários métodos de hedge e seus custos associados. A precificação de arbitragem nada tem a dizer sobre o segundo componente que depende das preferências dos investidores e, em um mercado de opções competitivo, esse prêmio de risco pode ser reduzido a zero, especialmente para as opções simples. "
@river_rat menciona aqui (nos comentários), no contexto do risco de volatilidade do preço de mercado de Heston, que o parâmetro EMM extra poderia (deveria) ser usado "na estabilidade dos índices de hedge resultantes (o que infelizmente geralmente é uma preocupação secundária) "