Como faz $\min\limits_{0<n<N} \{n\pi\}$ escala com $N$ ( $\{\cdot\}$ denota a parte fracionária)

Question

Deixei $x$ ser um número irracional (eu ficaria feliz com a resposta à pergunta para uma escolha específica, como $\pi$) De acordo com

Para $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$, o conjunto $\{nx-\lfloor nx\rfloor: n\in \mathbb{N}\}$ é denso em $[0,1)$,

o conjunto $\{nx\}$ é denso em $[0,1]$, Onde $\{\cdot\}$é a parte fracionária. Portanto,$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\}$$ converge para $0$ para $N\rightarrow\infty$. Sabe-se alguma coisa sobre o dimensionamento desta série, como$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\} = \mathcal{O}\left(\frac{1}{\operatorname{ln}(N)}\right)$$

Answer 1

Geralmente não podemos dizer muito mais sobre $$m(N) = m_x(N) := \min_{0 < n < N}\: \lbrace nx\rbrace$$ do que $m(N) \to 0$. Embora para todo irracional$x$ existem infinitamente muitos $N$ com $m(N) < \frac{1}{N}$, para cada função $f \colon \mathbb{N} \to (0,+\infty)$ com $f(N) \to 0$ podemos achar (incontáveis ​​muitos) irracionais $x$ com $$\limsup_{N \to +\infty} \frac{m_x(N)}{f(N)} = +\infty\,.$$ Nesse sentido, $m_x$ pode tender a $0$arbitrariamente lentamente. Mas heuristicamente, o comportamento típico é que$m_x(N)$ não tende a $0$ muito mais devagar do que $\frac{1}{N}$.

Para entender $m$podemos usar a expansão de fração contínua (especificamente, a expansão de fração contínua simples) de$x$.

Uma vez que, tanto quanto eu sei, não sabemos muito sobre a expansão contínua da fração de $\pi$ (nós "sabemos" os primeiros milhares de milhões de termos, mas não o que acontece depois disso), não podemos (ainda) descartar que $m_{\pi}(N)$ tende a $0$ muito, muito lentamente. Mas esperamos que não.

Por outro lado, para cada $x$ cuja expansão de fração contínua tem quocientes parciais limitados (chamados de "coeficientes" ou "termos" no artigo da Wikipedia), em particular para todos os irracionais quadráticos (estes têm frações contínuas periódicas), temos $m_x(N) \asymp \frac{1}{N}$, então coisas como $m_{\sqrt{2}}$pode ser analisado muito bem. A expansão contínua da fração de$e$ tem quocientes parciais ilimitados, mas tem um padrão regular conhecido, e temos $m_e(N) \in \mathcal{O}\bigl(\frac{\log N}{N}\bigr)$.

Vamos dar uma olhada nas frações contínuas (simples). A indexação começa com$0$, a $k^{\text{th}}$ convergente para o irracional $x$ com expansão contínua da fração $[a_0, a_1, a_2, \dotsc]$ deve ser denotado por $p_k/q_k$, a $k^{\text{th}}$ quociente completo $[a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, \dotsc]$ de $\alpha_k$.

A primeira observação importante é que os convergentes são alternadamente menores e maiores do que $x$, temos $$x - \frac{p_k}{q_k} = (-1)^k\cdot \delta_k$$ com $0 < \delta_k < 1$. (Temos limites superiores muito melhores para$\delta_k$, mas aqui estou apenas preocupado com o sinal da diferença.)

Outro fato importante é que os convergentes dão as melhores aproximações racionais para $x$ em um sentido muito forte:

Deixei $k > 1$. Então, para todos os inteiros positivos$q < q_{k+1}$ e todos os inteiros $p$ temos $$\lvert qx - p\rvert \geqslant \lvert q_k x - p_k\rvert \tag{1}$$ com igualdade se e somente se $p = p_k$ e $q = q_k$.

Nós definimos os números positivos $\varepsilon_k$ de $q_k x - p_k = (-1)^k\varepsilon_k$. De$(1)$ segue que $$m(q_{2k} + 1) = m(q_{2k+1}) = \varepsilon_{2k}$$ para todos $k \geqslant 1$. A recorrência para os convergentes juntamente com$\alpha_k = a_k + \frac{1}{\alpha_{k+1}}$ rendimentos \begin{align} \varepsilon_k &= \lvert q_{k}x- p_{k}\rvert \\ &= \Biggl\lvert q_{k}\frac{\alpha_{k}p_{k-1} + p_{k-2}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} - p_{k}\Biggr\rvert \\ &= \frac{\bigl\lvert \alpha_{k}\bigl(p_{k-1}q_{k} - p_{k}q_{k-1}\bigr) + \bigl(p_{k-2}q_{k} - p_{k}q_{k-2}\bigr)\bigr\rvert}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{\alpha_{k} - a_{k}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}\bigl(q_{k} + \frac{q_{k-1}}{\alpha_{k+1}}\bigr)} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}q_{k} + q_{k-1}} \\ &= \frac{1}{a_{k+1}q_{k} + q_{k-1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &= \frac{1}{q_{k+1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &< \frac{1}{q_{k+1}}\,. \end{align} Assim temos $$m_x(N) < \frac{1}{N}$$ pelo menos para todos $N$ tal que existe um $k \geqslant 1$ com $q_{2k} < N \leqslant q_{2k+1}$e, claro, existem infinitamente muitos deles (pelo menos um para cada $k$)

Por outro lado, entre $q_{2k+1}$ e $q_{2k+2}$coisas ruins podem acontecer. Primeiro, notamos que sempre temos$$\frac{1}{2q_{k+1}} < \varepsilon_k < \frac{1}{q_{k+1}}$$ e $a_{k+2}q_{k+1} < q_{k+2} = a_{k+2}q_{k+1} + q_k < (a_{k+2} + 1)q_{k+1}$ para $k \geqslant 1$. Também para$1 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ temos $$\varepsilon_{2k} > (q_{2k} + rq_{2k+1})x - (p_{2k} + rp_{2k+1}) = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} \geqslant \varepsilon_{2k+2}\,.$$ Vemos que os denominadores $q_{2k} + rq_{2k+1}$ produzir novos mínimos para $\{n x\}$ (na verdade, ainda não, também precisamos considerar outros $q$ entre $q_{2k+1}$ e $q_{2k+2}$, mas escrevendo tal $q$ na forma $q_{2k} + rq_{2k+1} + s$ com $0 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ e $0 \leqslant s < q_{2k+1}$ podemos usar $(1)$ para ver isso $\{q x\} > \varepsilon_{2k}$ quando $s \neq 0$), mas diminuem lentamente.

Agora suponha que o quociente parcial $a_{2k+2}$ é muito grande e escolha $r \approx \frac{a_{2k+2}}{2}$. Então para$n = q_{2k} + rq_{2k+1}$ temos $$\{nx\} = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} = \varepsilon_{2k} - \frac{r}{a_{2k+2}}\bigl(\varepsilon_{2k} - \varepsilon_{2k+2}\bigr) \approx \frac{1}{2}\varepsilon_{2k} > \frac{1}{4q_{2k+1}}$$ e $n > rq_{2k+1} > a_{2k+2}$ (Desde a $q_{2k+1} > 2$ para $k \geqslant 1$) Dado qualquer$f \in o(1)$ e parte inicial $[a_0, a_1, \dotsc, a_{2k+1}]$ de uma fração contínua, podemos sempre escolher $a_{2k+2}$ tão grande que $$\frac{1}{4 q_{2k+1} f(a_{2k+2})} > e^{k^4}\,,$$ dizer.

portanto $m_x$ pode tender a $0$ lentamente se a fração contínua de $x$ tem quocientes parciais com índices pares enormes (quocientes parciais com índices ímpares entrariam na imagem se você considerasse $\max \:\{nx\}$ ou equivalente $\min \:(1 - \{nx\})$ em vez de ou além de $\min \: \{nx\}$)

Normalmente, no entanto, os quocientes parciais são pequenos em comparação com os denominadores dos convergentes, e se tivermos $a_{k+1} \leqslant \varphi(q_k)$ para todos (suficientemente grande) $k$, então nós temos $$m_x(N) \in \mathcal{O}\biggl(\frac{\varphi(N)}{N}\biggr)\,.$$ Para $x$ com quocientes parciais limitados, podemos tomar $\varphi$ como uma função constante, e para $e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,\dotsc]$ temos $a_n \ll n$ enquanto $q_n \gg c^n$ para alguns $c > 1$, de onde $a_{k+1} \leqslant K\cdot \log q_k$.

Para $\pi = [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\dotsc]$ os quocientes parciais $a_2 = 15$ e $a_4 = 292$ são grandes em relação ao índice, mas não tão grandes em relação aos denominadores $q_1 = 7$ e $q_3 = 113$. Entre os primeiros$20000$quocientes parciais, existem alguns grandes , mas relativamente aos denominadores correspondentes$q_k$eles são, no entanto, muito pequenos. Claro que não podemos tirar nenhuma conclusão disso, mas até agora, os dados que temos não indicam que$m_{\pi}$ tende a $0$ lentamente.