Como interpretar a raiz quadrada do produto interno em um campo arbitrário?
Em um espaço de produto interno, a norma $\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$é induzida. Percebo que quase sempre lidei com números reais ou complexos, então dei a raiz quadrada como certa.
Lendo a entrada do produto interno no Wolfram (https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html), ele diz " Um espaço vetorial junto com um produto interno é chamado de espaço de produto interno. Essa definição também se aplica a um espaço vetorial abstrato sobre qualquer campo. " Isso foi dito após a introdução dos axiomas no contexto de um espaço sobre$\mathbb{R}$.
Estou confuso porque não sei como interpretar a raiz quadrada em um campo arbitrário. Suponho que a maneira óbvia seria defini-lo como o elemento$a \in \mathbb{F}$ de tal modo que $a^2 = \langle x,x\rangle$. Mas o problema que estou tendo é como sabemos se esse elemento existe no campo? Este é um resultado padrão da teoria dos anéis?
Meu entendimento sempre foi que os espaços internos do produto (e espaços normados) são definidos apenas sobre os números reais ou complexos. Como você os constrói (ou algo equivalente) sobre algum campo arbitrário?
Respostas
A afirmação não faz sentido. Em espaços vetoriais$V$ sobre campo arbitrário $k$ nós temos formas bilineares $b(x,y)$. Quando$k=\Bbb{C}$ também olhamos para as formas sesquilineares, o que significa que o segundo argumento é linear após a aplicação de um automorfismo $\sigma$do campo (o conjugaison complexo). Mas então podemos considerar$V$ como um $k^\sigma$ espaço vetorial para torná-lo linear, então suponha que $b$ é verdadeiramente linear.
$q(x) = b(x,x)$ é uma forma quadrática.
Uma primeira propriedade desejável é que $b(x,y)=b(y,x)$ (quando $char(k)\ne 2$ há uma correspondência de um para um entre as formas quadráticas e as formas bilineares simétricas).
Um segundo é aquele $q(x)=0$ sse $x=0$. Nesse caso$q$ é dito anisotrópico.
Quando $k$ é um campo ordenado, há um terceiro: que $\forall x,q(x)\ge 0$. Com os anteriores, esta é a definição de "$b$ é um produto interno ". Quando for o caso, então $\|x\|=\sqrt{q(x)}$ é algum tipo de norma (quando $k$ não é um subcampo de $\Bbb{R}$ então $\|x\|$não tem valor real, então isso é um pouco diferente). Você acha que sempre temos$\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|$ ?
$\sqrt{q(x)}$ é um elemento da extensão algébrica de $k$ obtido pela adição de todas as raízes quadradas dos elementos $\ge 0$, também é ordenado, através $\sqrt{a}\ge \sqrt{b}$ sse $a\ge b$, aplicando então a lei de ordens.
Observe que existem normas de valor real em outros campos, por exemplo $\|x\| = 0$ E se $x_1=x_2=0$ e $=1$ caso contrário, é uma norma de valor real sobre $k^2$ para qualquer campo, uma norma para o valor absoluto trivial $|a|_{tr}= 0$ E se $a=0$ e $=1$ caso contrário, tal que $\|ax\|=|a|_{tr} \|x\|$.