Como resolver $x^{T}Ax = 0$?

Dec 03 2020

Dada matriz $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$como faço para resolver $x^{T}Ax = 0$ para $x \in \mathbb{R}^n$?

Obviamente, um vetor zero é sempre uma solução e se $A$é positivo ou negativo definido, não há outra solução. No entanto, estou interessado nos casos, onde$A$não é nenhum. Apenas traçando alguns exemplos, acredito que a solução no caso bidimensional deve geralmente descrever uma ou duas linhas, mas uma solução analítica me escapa.

A questão Resolvendo equações quadráticas do formulário$x'(A-B)x = 0$parece estar intimamente relacionado, mas só pergunta, se há uma solução, não como parece e está pedindo o caso complexo. E, verdade seja dita, não entendo muito bem a resposta de qualquer maneira.

Respostas

2 Hyperplane Dec 03 2020 at 22:49

Dica: prova isso $x^T A x = x^T A_+ x$ para todos $x$, Onde $A_+ = \frac{1}{2}(A+A^T)$ é a parte simétrica de $A$. Então você pode aplicar o teorema espectral.