Como saber se são iguais?

Question

No artigo da Wikipédia sobre a equação cúbica , a raiz pode ser obtida por:

$-\frac{1}{3a}(b+C+\frac{\Delta_0}{C})$

Onde $\Delta_0=b^2-3ac$ e $C=\sqrt[3]{\frac{\Delta_1\pm\sqrt{\Delta_1^2-4\Delta_0^3}}{2}}$. Além disso,$\Delta_1=2b^3-9abc+27a^2d$.

Em outro site , há outra solução raiz:

$$\sqrt[3]{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})+\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}+\sqrt[3]{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})-\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}-\frac{b}{3a}$$

Coloquei o último no Wolphram | Alpha para avaliá-lo. a$\Delta_1$pode ser visto nele; mas não tenho ideia de como descobri-lo e as soluções anteriores são as mesmas.

Answer 1

Definir:

$$\begin{align*} x_N &= -\dfrac{b}{3a} \quad \text{(average of all 3 roots, x-value of inflection point)} \\ \\ \delta^2 &= \dfrac{b^2-3ac}{9a^2} \quad \mathrm{(x \; distance^2 \; from \;} x_N \; \text{to the 2 turning points)}\\ \\ y_N &= f(x_N) = \dfrac{2b^3}{27a^2}-\dfrac{bc}{3a} +d \quad \text{(y-value of inflection point)}\\ \\ h &= 2a\delta^3 \quad \mathrm{(y \; distance \; from \;} y_N \; \text{to the 2 turning points)} \\ \end{align*}$$

(Veja a figura 1 neste artigo de Nickalls: http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf)

A segunda expressão que você apresentou pode ser escrita como

$$x_N + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N - \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } $$

ou para $h \ne 0$,

$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} \right) $$

Na primeira expressão que você apresentou, nós temos

$$\begin{align*} \Delta_0 & = 9a^2 \delta^2 \\ \\ \Delta_1 &= 27a^2 y_N \\ \\ C &= -3a \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N \mp \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) }\\ \end{align*}$$

então essa expressão se torna

$$ x_N + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } + \dfrac{\delta^2}{\sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) }}$$

ou para $h \ne 0$,

$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} }\right) $$

que após multiplicar o numerador e denominador desse último termo entre parênteses por $$\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }}$$

torna-se

$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} \right) $$

Então, sim, de fato, essas duas expressões para as raízes da cúbica que você encontrou são equivalentes.

Agora eu encorajo você a jogar fora toda aquela solução clássica para as raízes de uma cúbica e, em vez disso, aprender a abordagem de Nickalls conforme apresentada por Nickalls e desenvolvida por Holmes:

http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf

https://users.math.msu.edu/users/newhous7/math_235/lectures/cubic_gc_holmes.pdf