Como usar os coeficientes da Tabela de Clebsch – Gordan da Wikipedia?

Question

A Wikipedia tem um bom artigo que descreve os coeficientes de Clebsch-Gordan .

Por exemplo, para meu entendimento, esta tabela nos diz como combinar duas partículas, cada uma com um momento angular total máximo $1$ em uma função de onda com momento angular máximo $2$:

Pegue a primeira coluna da última tabela. Isso nos diz, eu acredito:

$|2,0\rangle = \sqrt{\frac{1}{6}} |1,1\rangle |1,-1\rangle +\sqrt{\frac{2}{3}}|1,0\rangle|1,0\rangle+\sqrt{\frac{1}{6}} |1,-1\rangle|1,1\rangle$

Como eu interpreto isso:

O momento angular total de uma partícula que surge de tal combinação de funções de onda de duas outras partículas terá o número quântico angular total 2 (então o momento angular total $\sqrt{j(j+1)\hbar^2}=\sqrt{2(2+1)\hbar^2}$), mas $0$ em volta do $z$ eixo (como $m_j$, o que eu entendo ser o momento angular em torno do $z$ eixo, é $0$)

Portanto, o momento angular da partícula constituinte não está alinhado entre si; na verdade, elas são antialinhadas o suficiente para que o momento angular z-direcional total seja 0.

Esta interpretação do que está acontecendo está correta? Minha preocupação é que não há tabelas para$m=-1,-2$. Se minha interpretação da situação estiver correta, não vejo razão para não poder produzir uma partícula combinada com estes$m$ valores, se eu posso fazer isso por $m=0,1,2$.

Answer 1

O artigo da Wikipedia diz o seguinte:

Para resumir, soluções com $M < 0$ e $j_1 < j_2$são omitidos. Eles podem ser calculados usando relações simples $$ \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{1},j_{2};-m_{1},-m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,-M\rangle .$$ e $$ \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{2},j_{1};m_{2},m_{1}\mid j_{2},j_{1};J,M\rangle.$$

Em outras palavras, os coeficientes de Clebsch-Gordon para um valor negativo de $m$ são os mesmos (até um sinal) que aqueles para o valor positivo correspondente de $m$, contanto que você troque os sinais de $m_1$ e $m_2$ também.