Comparando conjuntos de primos gêmeos com outros conjuntos. Por que existe um valor máximo e mínimo?
Peguei 2 conjuntos: o primeiro é uma lista consecutiva do primeiro par de gêmeos. A segunda é uma lista consecutiva de números como segue 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ....
Em seguida, comparei as listas dividindo os números da segunda lista com os números da primeira lista, e ocorre uma taxa de crescimento constante da distribuição (como visto nas figuras abaixo).
Se você analisar os dados (como pode ser visto nas fotos abaixo), você notará que:
Se a flutuação da coluna E for muito alta (geralmente acima de 1,1), então o "próximo" par de gêmeos terá que ser menor que o par "atual:", produzindo assim um erro.
Você também pode notar que a flutuação da coluna E nunca é muito baixa (provavelmente não inferior a 0,99 após as primeiras centenas).
O mesmo fenômeno acontece se eu substituir a coluna C pelos quadrados 1,4,9,16, ... ou por um polinômio quadrático arbitrário.
Ao substituir a coluna C por uma constante igual a 1, o valor máximo nunca passa de 1 (obviamente). No entanto, após as primeiras centenas, o valor mínimo provavelmente não será menor que 0,99
Alguém pode me fornecer uma explicação teórica de por que isso pode ser ?.
Lista dos primeiros 100.000 com coluna C: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4 ....
Lista dos primeiros 100.000 com coluna C: com os quadrados 1,4,9,16,25 ...
Lista dos primeiros 100.000 com coluna C: constante = 1
Obrigado.
Respostas
Qual é a motivação desse emaranhado de cálculos?
Deixei $B_2=3,B_3=5,\cdots $seja sua sequência de "primeiro membro de um par primo gêmeo". Por algum motivo, começando no índice$2.$ Não sabemos se esta é uma sequência infinita, mas suspeitamos fortemente que seja com $B_n \approx k n (\ln n)^2$ por alguma constante $k.$ Existem conjecturas sobre $k$mas isso pouco importa aqui. Portanto, para uma explicação plausível, podemos dizer que$\frac{B_n}{B_{n-1}}$ é definitivamente maior que $1$mas se aproximando em um ritmo médio constante. Talvez com$1<\frac{B_n}{B_{n-1}}<\frac{n+8}{n-1}.$ Ou, para ser especialmente imprudente, $\frac{B_n}{B_{n-1}} \approx \frac{n}{n-1}.$
Os números $E_n$ você está analisando são exatamente $\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}$ então aí está a sua explicação de porque eles às vezes estão acima $1$ e às vezes abaixo, com convergência para $1.$
Digressão: após os primeiros pares, cada membro da sequência é $11,17$ ou $29 \bmod 30.$Talvez isso apresente um pouco de aglomeração. Eu não sei. Você pode verificar se o over vs under$1$ o comportamento se correlaciona com a classe de congruência $\bmod 30$ ser $11$ vs $17$ ou $29.$ Em caso afirmativo, esse comportamento parece continuar ou desaparecer?
A sequência $C_1=1,C_2=3,\cdots $ de números triangulares tem $C_n=\frac{n(n+1)}2$ então $\frac{C_{n-1}}{C_{n}}=\frac{n-1}{n+1}$ exatamente.
Você define $D_n=\frac{C_n}{B_n}$ e então, para $n \ge 3,$ $$E_n=\frac{D_n}{D_{n-1}}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{C_{n-1}}{C_n}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}\approx\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n+1} \rightarrow 1$$
Se em vez de primos gêmeos você usasse primos, com $p_n \approx n\ln n,$os resultados devem ser quase iguais, possivelmente menos instáveis. Se em vez de números triangulares você usasse quadrados, você teria$\frac{(n-1)^2}{n^2}\approx \frac{n-2}{n}$ que é muito perto de $\frac{n-1}{n+1}$
As etapas adicionais de adicionar termos sucessivos de uma coluna anterior ou tomar proporções dão sequências que convergem para um ou crescem como $n.$